Як знайти базис системи вектор-стовпців


 

Перед розглядом даного питання варто нагадати, що будь-яка впорядкована система n лінійно незалежних векторів простору R ^ n називається базисом цього простору. При цьому утворюють систему вектори будуть вважатися лінійно незалежними, якщо будь-яка їх нульова лінійна комбінація можлива тільки за рахунок рівності нулю всіх коефіцієнтів цієї комбінації.



Вам знадобиться

— папір;
- Ручка.

Інструкція

  1. Користуючись тільки лише основними визначеннями перевірити лінійну незалежність системи вектор-стовпців, а відповідно і дати висновок про наявність базису, досить важко. Тому в даному випадку вам може допомогти використання деяких спеціальних ознак.
  2. Відомо, що вектори лінійно незалежні, якщо складений з них визначник не дорівнює нулю.
    Виходячи з цього, можна досить пояснити той факт, що система векторів утворює базис.
    Отже, для того щоб обгрунтувати, що вектори утворюють базис, слід скласти з їх координат визначник і переконатися, що він не дорівнює нулю.

    Надалі, для скорочення і спрощення записів, представлення вектор-стовпця матрицею-стовпцем будемо замінювати транспонованої матрицею-рядком.
        



  3. Як знайти базис системи вектор-стовпців

                            Приклад 1. Утворюють чи базис в R ^ 3 вектор-стовпці (1, 3, 5) ^ T, (2, 6, 4) ^ T, (3, 9, 0) ^ T.
    Рішення. Складіть визначник | A |, рядками якого є елементи заданих стовпців (див. рис.1).
    Розкривши цей визначник за правилом трикутників, вийде: | A | = 0 +90 +36-90-36-0 = 0. Отже, ці вектори не можуть утворити базис.
        

  4. Як знайти базис системи вектор-стовпців

                            Приклад. 2. Система векторів складається з (10, 3, 6) ^ T, (1, 3, 4) ^ T, (3, 9, 2) ^ T. Чи можуть вони утворити базис?
    Рішення. За аналогією з першим прикладом складіть визначник (див. рис.2):
    | A | = 60 +54 +36-54-360-6 = 270, тобто не дорівнює нулю. Отже, ця система вектор-стовпців придатна для використання в якості базису в R ^ 3.
        
  5. Тепер з усією очевидністю стає ясно, що для знаходження базису системи вектор-стовпців цілком достатньо взяти будь визначник підходящої розмірності відмінний від нуля. Елементи його стовпців утворюють базисну систему. Мало того, завжди бажано мати найпростіший базис. Так як визначник одиничної матриці завжди відмінний від нуля (при будь розмірності), то в якості базису завжди можна вибрати систему (1, 0, 0, …, 0) ^ T, (0, 1, 0, …, 0) ^ T , (0, 0, 1, …, 0) ^ T, …, (0, 0, 0, …, 1) ^ T.