Як знайти базис


 

Спосіб докази відкривається безпосередньо з визначення базису.

Будь впорядкована система n лінійно незалежних векторів простору R ^ n називається базисом цього простору.


Вам знадобиться

— папір;
- Ручка.

Інструкція

  1. Знайдіть небудь короткий ознака лінійної незалежності.

    Теорема. Система з т векторів простору R ^ n є лінійно незалежної тоді і тільки тоді, коли ранг матриці, складеної з координат цих векторів дорівнює т.


  2. Як знайти базис

                            Доказ. Використовуємо визначення лінійної незалежності, яке свідчить, що утворюють систему вектори лінійно незалежні (тоді і тільки тоді), якщо рівність нулю будь-якої їх лінійної комбінації досяжною лише при рівності нулю всіх коефіцієнтів цієї комбінації.

    Далі див. рис. 1, де все написано найбільш докладно.

    На рис.1 в стовпцях розташовані набори чисел xij, j = 1, 2, …, n відповідні вектору xi, i = 1, …, m.


  3. Як знайти базис

                            Виконайте дії за правилами лінійних операцій в просторі R ^ n. Так як кожен вектор в R ^ n однозначно визначається впорядкованим набором чисел, прирівняти «координати» рівних векторів та отримайте систему n лінійних однорідних алгебраїчних рівнянь з n невідомими a1, a2, …, am (див. рис.2).
  4. Лінійна незалежність системи векторів (x1, x2, …, xm) в силу еквівалентних перетворень еквівалентна тому, що однорідна система (рис. 2) має єдине нульове рішення. Спільна система тоді і тільки тоді має єдине рішення, коли ранг матриці (матриця системи складена з координат векторів (x1, x2, …, xm) системи дорівнює числу невідомих, тобто n.

    Отже, для того щоб обгрунтувати той факт, що вектори утворюють базис, слід скласти з їх координат визначник і переконатися, що він не дорівнює нулю.