Як знайти бісектрису прямого кута


 

Один з кутів прямокутного трикутника прямий, тобто становить 90 ⁰. Це дещо спрощує роботу в порівнянні зі звичайним трикутником, так як існує безліч закономірностей і теорем, що дозволяють легко висловлювати одні величини через інші. Наприклад, спробуйте знайти бісектрису прямого кута, опущену на гіпотенузу.


Вам знадобиться

— прямокутний трикутник;
- Відома довжина катетів;
- Відома довжина гіпотенузи;
- Відомі кути і одна із сторін;
- Відомі довжини частин, на які бісектриса ділить гіпотенузу.

Інструкція

  1. < br /> Креслення до задачі

                  У першу чергу знайдіть гіпотенузу. Нехай ваша гіпотенуза буде дорівнює с. Бісектриса прямого кута ділить гіпотенузу на дві, найчастіше нерівні, частини. Позначте одну з них за х, а інша при цьому буде дорівнює с-х.
  2. Можна вчинити інакше: позначте дві частини за х і у, при цьому буде виконуватися умова х + у = с, його необхідно буде врахувати при вирішенні рівняння.
  3. Скористайтеся наступною теоремою: відносини катетів і відносини прилеглих відрізків, на які бісектриса прямого кута ділить гіпотенузу, рівні. Тобто розділіть довжину катетів один на одного і прирівняти до відношення х / (с-х). При цьому стежите за тим, щоб в чисельнику стояв прилегла до х катет. Вирішити отримане рівняння і знайдіть х.
  4. Спробуйте вчинити по-іншому: висловіть катети через гіпотенузу і кут α. При цьому прилежащий катет буде дорівнює с * cosα, а протилежний — з * sinα. Рівняння в цьому випадку вийде в наступному вигляді: х / (с-х) = с * cosα / с * sinα. Після спрощення х = с * cosα / (sinα + cosα).
  5. Дізнавшись довжину відрізків, на які бісектриса прямого кута розділила гіпотенузу, знайдіть довжину самої гіпотенузи за допомогою теореми синусів. Кут між катетом і бісектрисою вам відомий — 45 ⁰, дві сторони внутрішнього трикутника теж.
  6. Підставте дані в теорему синусів: х/sin45 ⁰ = l / sinα. Спростивши вираз, ви отримаєте l = 2xsinα / √ 2. Підставте знайдене значення х: l = 2c * cosα * sinα / √ 2 (sinα + cosα) = c * sin2α/2cos (45 ⁰-α). Це і є бісектриса прямого кута, виражена через гіпотенузу.
  7. Якщо вам дано катети, у вас є два варіанти: або знайдіть довжину гіпотенузи по теоремі Піфагора, згідно з якою сума квадратів катетів дорівнює квадрату гіпотенузи і вирішуйте зазначеним вище способом. Або скористайтеся наступною готової формулою: l = √ 2 * ab / (a ​​+ b), де a і b — довжини катетів.