Як знайти дискримінант квадратного рівняння


 

Обчислення дискриминанта — найпоширеніший спосіб, який застосовується в математиці для вирішення квадратного рівняння. Формула для розрахунку є наслідком методу виділення повного квадрата і дозволяє швидко визначити корені рівняння.



Інструкція

  1. Алгебраїчне рівняння другого ступеня може мати до двох коренів. Їх кількість залежить від значення дискриминанта. Щоб знайти дискримінант квадратного рівняння, слід скористатися формулою, в якій задіяні всі коефіцієнти рівняння. Нехай задано квадратне рівняння виду а • х ² + b • х + с = 0, де а, b, с — коефіцієнти. Тоді дискримінант D = b ² — 4 • а • с.
      
  2. Коріння рівняння знаходяться наступним чином: х1 = (-b + √ D) / 2 • а; х2 = (-b — √ D) / 2 • а.
      
  3. Дискримінант може прийняти будь-яке значення: позитивне, негативне або нульове. В залежності від цього, варіюється кількість коренів. Крім того, вони можуть бути як речовими, так і комплексними:
    1. Якщо дискримінант більше нуля, то коренів у рівняння два.
    2. Дискримінант нульовий, значить, у рівняння є тільки одне рішення х =-b / 2 • а. В деяких випадках застосовують поняття кратних коренів, тобто насправді їх два, але у них загальне значення.
    3. При негативному значенні дискриминанта кажуть, що речових коренів рівняння не має. Для того щоб знайти комплексні корені, вводиться число i, квадрат якого дорівнює -1. Тоді рішення виглядає так:
    х1 = (-b + i • √ D) / 2 • а; х2 = (-b — i • √ D) / 2 • а.
      
  4. Приклад: 2 • х ² +5 • х — 7 = 0.
    Рішення:
    Знайдіть дискриминант:
    D = 25 + 56 = 81> 0 → х1, 2 = (-5 ± 9) / 4;
    х1 = 1; х2 = -7 / 2.
      
  5. Деякі рівняння парних вищих ступенів можуть бути приведені до другої ступені шляхом заміни змінної або угрупованням. Наприклад, рівняння 6 мірою може бути перетворено в такий вигляд:
    а • (х ³) ² + b • (х ³) + с = 0
    х1, 2 = ∛ ((-b + i • √ D) / 2 • а).
    Тоді метод вирішення за допомогою дискриминанта підходить і тут, потрібно лише не забути витягти кубічний корінь на останньому етапі.
  6. Існує також дискриминант для рівнянь високих ступенів, наприклад кубічного многочлена виду а • х ³ + b • х ² + с • х + d = 0. В даному випадку формула знаходження дискриминанта виглядає так: D = -4 • а • с ³ + b ² • с ² — 4 • b ³ • d + 18 • а • b • з • d — 27 • а ² • d ².