Як знайти довжину діагоналей паралелепіпеда


 

паралелепіпедом називається призма, підставою якої служить паралелограм. Паралелограми, з яких складено паралелепіпед, називаються його гранями, їх боку — ребрами, а вершини паралелограмів — вершинами паралелепіпеда.



Інструкція

  1. У паралелепіпеда можна побудувати чотири пересічні діагоналі. Якщо відомі дані трьох ребер а, b і с, знайти довжини діагоналей прямокутного паралелепіпеда не важко, виконуючи додаткові побудови.

  2. Як знайти довжину діагоналей паралелепіпеда

                            Спочатку намалюйте прямокутний паралелепіпед. Підпишіть всі відомі вам дані, їх має бути три: ребра а, b і с. Накресліть перший діагональ m. Для її побудови скористайтеся властивістю прямокутних паралелепіпедів, згідно з яким всі кути подібних фігур є прямими.

  3. Як знайти довжину діагоналей паралелепіпеда

                            Побудуйте діагональ n однієї з граней паралелепіпеда. Побудова зробіть таким чином, щоб відоме ребро (а), невідома діагональ паралелепіпеда і діагональ прилеглої межі (n) утворювали прямокутний трикутник а, n, m.
  4. Подивіться на побудовану діагональ грані (n). Вона є гіпотенузою іншого прямокутного трикутника b, с, n. Слідуючи теоремі Піфагора, яка свідчить, що квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів (n ² = с ² + b ²), знайдіть квадрат гіпотенузи, потім вийміть корінь квадратний з отриманого значення — це і буде довжина діагоналі грані n.
  5. Знайдіть діагональ самого паралелепіпеда m. Для того, щоб знайти її значення, в прямокутному трикутнику а, n, m обчисліть за тією ж формулою гіпотенузу: m² = n ² + a ². Обчисліть корінь квадратний. Знайдений результат буде першою діагоналлю вашого паралелепіпеда. Діагональ m.
  6. Точно так же проведіть послідовно всі інші діагоналі паралелепіпеда, для кожної з яких виконуйте додаткові побудови діагоналей прилеглих граней. Використовуючи теорему Піфагора, знайдіть значення інших діагоналей даного паралелепіпеда.
  7. Є ще один спосіб, за допомогою якого можна знайти довжину діагоналі. Відповідно до одного з властивостей паралелограма, квадрат діагоналі дорівнює сумі квадратів трьох його сторін. З цього випливає, що довжину можна знайти склавши квадрати сторін паралелепіпеда і з отриманого значення витягти квадрат.

Корисні поради

Властивості паралелепіпеда:

— паралелепіпед симетричний щодо середини його діагоналі;

— будь-який відрізок з кінцями, що належать поверхні паралелепіпеда і проходить через середину його діагоналі, ділиться нею навпіл, зокрема, всі діагоналі паралелепіпеда перетинаються в одній точці і діляться нею навпіл;

— протилежні грані паралелепіпеда паралельні і рівні;

— квадрат довжини діагоналі прямокутного паралелепіпеда дорівнює сумі квадратів трьох його вимірів.