Як знайти довжину діагоналі паралелограма


 

Результатом з’єднання в чотирикутнику протилежних один одному вершин є побудова його діагоналей. Існує загальна формула, що зв’язує довжини цих відрізків з іншими вимірами фігури. По ній, зокрема, можна знайти довжину діагоналі паралелограма.



Інструкція

  1. Побудуйте паралелограм, вибравши при необхідності масштаб так, щоб всі відомі вимірювання максимально відповідали початковим даним. Добре розуміння умов завдання і побудова наочного графіка — запорука швидкості рішення. Пам’ятайте, що в цій фігурі боку попарно паралельні і рівні.
      
  2. Проведіть обидві діагоналі, з’єднавши протилежні вершини. Ці відрізки володіють декількома властивостями: вони перетинаються в середині своїх довжин, а будь-який з них ділить фігуру на два симетрично однакових трикутника. Довжини діагоналей паралелограма пов’язані формулою суми квадратів:
    d1 ² + d2 ² = 2 • (а ² + b ²), де а і b — довжина і ширина.
      
  3. Очевидно, що знати тільки довжини основних вимірів паралелограма недостатньо для того, щоб обчислити хоча б одну діагональ. Розглянемо задачу, в якій задані боку фігури: а = 5 і b = 9. Також відомо, що одна з діагоналей більше іншої в 2 рази.
      
  4. Складіть два рівняння з двома невідомими:
    d1 = 2 • d2
    d1 ² + d2 ² = 2 • (а ² + b ²) = 212.
      
  5. Підставте d1 з першого рівняння в друге:
    5 • d2 ² = 212 → d2 ≈ 6,5;
    Знайдіть довжину першої діагоналі:
    d1 = 13.
      
  6. Окремими випадками паралелограма є прямокутник, квадрат і ромб. Діагоналі перших двох фігур являють собою рівні відрізки, отже, формулу можна переписати в більш простому вигляді:
    2 • d ² = 2 • (а ² + b ²) → d = √ (а ² + b ²), де а і b — довжина і ширина прямокутника;
    2 • d ² = 2 • 2 • а ² → d = √ 2 • а ², де а — сторона квадрата.
      
  7. Довжини діагоналей ромба — не рівні величини, однак рівні його боку. Виходячи з цього, формулу теж можна спростити:
    d1 ² + d2 ² = 4 • а ².
      
  8. Ці три формули можна вивести також з окремого розгляду трикутників, на які фігури діляться діагоналями. Вони прямокутні, значить, можна застосувати теорему Піфагора. Діагоналі — це гіпотенузи, катети — сторони чотирикутників.