Як знайти довжину підстави трапеції


 

Для завдання такого чотирикутника, як трапеція, повинно бути визначено не менше трьох його сторін. Тому, для прикладу, можна розглянути задачу, в умові якої задані довжини діагоналей трапеції, а також один з векторів бічної сторони.



Інструкція


  1. Як знайти довжину підстави трапеції

                            Фігура з умови задачі представлена ​​на малюнку 1.
    В даному випадку слід припустити, що розглянута трапеція — це чотирикутник AВCD, в якому задані довжини діагоналей AC і BD, а також бічна сторона АВ, представлена ​​вектором a (ax, ay). Прийняті вихідні дані дозволяють знайти обидва підстави трапеції (як верхнє, так і нижнє). У конкретному прикладі спочатку буде знайдено нижню підставу АD.
        
  2. Розгляньте трикутник ABD. Довжина його боку АВ дорівнює модулю вектора a. Нехай | a | = sqrt ((ax) ^ 2 + (ay) ^ 2) = a, тоді cosф = ax / sqrt (((ax) ^ 2 + (ay) ^ 2), як направляючий косинус a. Нехай задана діагональ BD має довжину p, а шукана AD довжину х. Тоді, по теоремі косинусів, P ^ 2 = a ^ 2 + x ^ 2-2axcosф. Або x ^ 2-2axcosф + (a ^ 2-p ^ 2) = 0 .
        
  3. Рішення цього квадратного рівняння:
    X1 = (2acosф + sqrt (4 (a ^ 2) ((cosф) ^ 2) -4 (a ^ 2-p ^ 2))) / 2 = acosф + sqrt ((a ^ 2) ((cosф) ^ 2) — (a ^ 2-p ^ 2)) =
    = A * ax | sqrt (((ax) ^ 2 + (ay) ^ 2) + sqrt ((((a) ^ 2) (ax ^ 2)) / (ax ^ 2 + ay ^ 2))-a ^ 2 + p ^ 2) = AD.
        
  4. Для знаходження верхнього підстави НД (його довжина при пошуку рішення також позначена х) використовується модуль | a | = a, а також друга діагональ BD = q і косинус кута АВС, який, очевидно, дорівнює (п-ф).
  5. Далі розглядається трикутник АВС, до якого, як і раніше, застосовується теорема косинусів, і виникає наступне рішення. Враховуючи, що cos (п-ф) =-cosф, на основі рішення для AD, можна записати наступну формулу, замінивши p на q:
    НД = — a * ax | sqrt (((ax) ^ 2 + (ay) ^ 2) + sqrt ((((a) ^ 2) (ax ^ 2)) / (ax ^ 2 + ay ^ 2)) -a ^ 2 + q ^ 2).
  6. Дане рівняння є квадратним і, відповідно, має два кореня. Таким чином, в даному випадку залишається вибрати лише ті корені, які мають позитивне значення, так як довжина не може бути негативною.
  7. Приклад
    Нехай у трапеції АВСD бічна сторона АВ задана вектором a (1, sqrt3), p = 4, q = 6. Знайти підстави трапеції.
    Рішення. Використовуючи отримані вище алгоритми можна записати:
    | A | = a = 2, cosф = 1/2.
    AD = 1/2 + sqrt (4/4 -4 +16) = 1/2 + sqrt (13) = (sqrt (13) +1) / 2.
    BC = -1 / 2 + sqrt (-3 +36) = (sqrt (33) -1) / 2.