Як знайти довжину вектора


 

Векторні величини мають не тільки чисельне значення, а й напрямок, тому вони зручні при вирішенні задач на фізичні процеси руху та взаємодії тіл. Щоб знайти довжину вектора, слід підсумувати квадрати всіх його просторових координат і витягти квадратний корінь.



Інструкція

  1. Вектор — відрізок, що має напрямок. Однак це все ж обмежений ділянку прямий, який має свою довжину. Ця чисельна величина також називається модулем вектора і використовується в різних операціях над векторами, включаючи парні — додавання і твір.
      
  2. Будь-який об’єкт задається координатами, двома для площині і трьома в просторі. Вектор задається координатами двох точок, з’єднанням яких він є. Таким чином, визначивши довжину вектора, можна обчислити відстань між будь-якими двома точками в просторі.
      
  3. Щоб знайти довжину вектора в двомірному просторі, потрібно застосувати теорему Піфагора про співвідношення сторін прямокутного трикутника. Гіпотенузою цієї фігури є відстань між кінцями вектора, тобто невідома величина. Катети — відрізки на координатних прямих, що з’єднують проекції точок початку і кінця вектора на осі, відповідно, абсцис і ординат.
      
  4. Отже, нехай задано вектор з початком у точці А (-1; -2) і кінцем В (6, 4). Тоді відстань між їхніми проекціями на вісь Ох одно Хb — ха = 6 — (-1) = 7, на вісь Оу: уb — уа = 4 — (-2) = 6. Квадрат довжини вектора являє собою суму квадратів цих різниць, а значить, для визначення самої шуканої величини потрібно обчислити квадратний корінь:
    | АВ | = √ ((Хb — ха) ² + (уb — уа) ²) = √ 85 ≈ 9,2.
      
  5. Для тривимірного простору ця формула також справедлива, при цьому доданків стає три, за кількістю координатних осей. Нехай у кінців розглянутого вектора є аплікати, рівні 1 для точки А і 3 для точки В. Тоді довжина просторового вектора АВ:
    | АВ | = √ ((Хb — ха) ² + (уb — уа) ² + (zb — zА) ²) = √ 89 ≈ 9,4.
      
  6. Для того, щоб виконати операцію додавання двох векторів, тобто знайти довжину сумарної величини, потрібно застосувати теорему косинусів, згідно з якою:
    | АВ + СD | = √ (| АВ | ² + | CD | ² — 2 • | AB | • | CD | • cos α), де α кут між векторами.
      
  7. Твір векторів також виконується за допомогою їх довжин:
    | AB • CD | = | AB | • | CD | • sin α.