Як знайти другу похідну функції


 

Диференціальні обчислення — розділ математичного аналізу, який вивчає похідні першого і вищих порядків як один з методів дослідження функцій. Друга похідна деякої функції виходить з першої повторним диференціюванням.



Інструкція

  1. Похідна деякої функції в кожній точці має певне значення. Таким чином, при її диференціюванні виходить нова функція, яка також може бути диференційована. В цьому випадку її похідна називається другої похідної вихідної функції і позначається F» (x).
        
  2. Першою похідною називається межа приросту функції до приросту аргументу, тобто:
    F ‘(x) = lim (F (x) — F (x_0)) / (x — x_0) при x → 0.
    Другий похідної вихідної функції є похідна функції F ‘(x) в тій же точці x_0, а саме:
    F» (x) = lim (F ‘(x) — F’ (x_0)) / (x — x_0).
        
  3. Для знаходження других похідних складних функцій, які важко визначити звичайним способом, застосовують методи чисельного диференціювання. При цьому для розрахунку використовують наближені формули:
    F» (x) = (F (x + h) — 2 * F (x) + F (x — h)) / h ^ 2 + α (h ^ 2)
    F» (x) = (-F (x + 2 * h) + 16 * F (x + h) — 30 * F (x) + 16 * F (x — h) — F (x — 2 * h )) / (12 * h ^ 2) + α (h ^ 2).
        
  4. Основа методів чисельного диференціювання — апроксимація інтерполяційним многочленом. Наведені формули виходять в результаті подвійного диференціювання інтерполяційних многочленів Ньютона і Стірлінга.
        
  5. Параметр h є кроком апроксимації, прийнятим для розрахунків, а α (h ^ 2) — це похибка апроксимації. Аналогічно α (h) для першої похідної ця нескінченно мала величина обернено пропорційна h ^ 2. Відповідно, вона тим більше, чим менше довжина кроку. Тому для мінімізації похибки важливо вибрати саме оптимальне значення h.
    Вибір оптимального значення h називається регуляризації по кроці. При цьому вважають, що є таке значення h, що вірно:
    | F (x + h) — F (x) |> ε, де ε — деяка мала величина.
        
  6. Існує інший алгоритм мінімізації похибки апроксимації. Він полягає у виборі декількох точок області значень функції F поблизу початкової точки x_0. Потім обчислюються значення функції в цих точках, за якими будується лінія регресії, яка є згладжує для F на малому інтервалі.
        
  7. Отримані значення функції F є часткову суму ряду Тейлора:
    G (x) = F (x) + R, де G (x) — згладжена функція з похибкою апроксимації R. Після дворазового диференціювання отримаємо:
    G» (x) = F» (x) + R», звідки R» = G» (x) — F» (x).
    Величина R» як відхилення наближеного значення функції від її справжнього значення і буде мінімальною похибкою апроксимації.