Як знайти екстремум функції двох змінних


 

За визначенням, точка М0 (x0, y0) називається точкою локального максимуму (мінімуму) функції двох змінних z = f (x, y), якщо в деякій околиці точки U (x0, y0), для будь-якої точки M (x , y) виконано f (x, y) f (x0, y0)). Ці точки називаються екстремумами функції. В тексті приватні похідні позначаються відповідно до рис. 1.


Інструкція


  1. Як знайти екстремум функції двох змінних

                            Необхідною умовою екстремуму є рівність нулю приватних похідних функції по x та по y. Точка M0 (x0, y0), в якій в нуль звертаються обидві приватні похідні, називається стаціонарною точкою функції z = f (x, y).
  2. Зауваження. Приватні похідні функції z = f (x, y) можуть не існувати в точці екстремуму, тому точками можливого екстремуму є не тільки стаціонарні точки, але й точки, в яких приватні похідні не існують (їм відповідають вістря поверхні — графіка функції).

  3. Як знайти екстремум функції двох змінних

                            Тепер можна перейти до достатніх умов наявності екстремуму.
    Якщо дифференцируемая функція має екстремум, то він може бути тільки в стаціонарній точці. Достатні умови екстремуму формулюються таким чином: нехай у деякій околиці стаціонарної точки (x0, y0) функція f (x, y) має безперервні приватні похідні другого порядку. Наприклад: (див. рис.2)
        
  4. Тоді: а) якщо Q> 0, то в точці (x0, y0) функція має екстремум, причому при f» (x0, y0) 0) — локальний мінімум;
    б) якщо Q

  5. Для відшукання екстремуму функції двох змінних можна запропонувати наступну схему: спочатку знаходяться стаціонарні точки функції. Потім у цих точках перевіряються достатні умови екстремуму. Якщо функція в якихось точках не має приватних похідних, то в цих точках теж може бути екстремум, але достатні умови вже не будуть застосовуватися.

  6. Як знайти екстремум функції двох змінних

                            Приклад. Знайти екстремуми функції z = x ^ 3 + y ^ 3-xy.
    Рішення. Знайдемо стаціонарні точки функції (див. рис. 3):
        

  7. Як знайти екстремум функції двох змінних

                            Рішення останньої системи дає стаціонарні точки (0, 0) і (1/3, 1/3). Тепер необхідно перевірити виконання достатньої умови екстремуму. Знайдіть другі похідні, а також стаціонарні точки Q (0,0) і Q (1/3, 1/3) (див. рис 4):
  8. Так як Q (0, 0) 0, отже, в точці (1/3, 1/3) екстремум є. З урахуванням того, що друга похідна (по xx) в (1/3, 1/3) більше нуля, необхідно прийняти рішення, що ця точка є мінімумом.