Як знайти фундаментальну систему рішень


 

Дане питання ставиться до рішення однорідних лінійних диференціальних рівнянь n-го порядку. При цьому обгрунтовується, але не вирішується на конкретних прикладах, пошук системи рішень, званої фундаментальної (скорочено ФСР), лінійна комбінація функцій якої дає загальне рішення диференціального рівняння.



Інструкція


  1. Як знайти фундаментальну систему рішень

                            Диференціальне рівняння вищого порядку називається лінійним, якщо воно лінійно щодо невідомої функції і всіх її похідних. Загальний вид лінійного однорідного диференціального рівняння (ЛОДУ) n-го порядку ілюструє рис. 1.
  2. Ліву частину рівняння (1) називають лінійним диференціальним оператором n-го порядку і позначають: L [y]: L [y] = y ^ (n) + a1 (x) y ^ (n-1) + … + a (n -1) (x) y ‘+ a ^ n (xy) = 0.
    Рівняння (1) можна переписати у вигляді L [y] = 0.
        
  3. Нехай на проміжку (a, b) дана система функцій у1 (x), у2 (x), …, уn (x).
    Функції у1 (x), у2 (x), …, уn (x) називаються лінійно незалежними на (a, b), якщо лінійна комбінація k1у1 (x) + k2 у2 (x) + … + knуn (x) = 0, лише при k1 = k2 = … = kn = 0.
        

  4. Як знайти фундаментальну систему рішень

                            Тепер необхідно розглянути питання обгрунтування лінійної незалежності системи функцій
    у1 (x), у2 (x), …, уn (x). Нехай вони мають похідні до (n-1)-го порядку включно.
    Визначник, складений з цих функцій та їх похідних, називається визначником Вронського (див. рис. 2) або вронскніаном.
        
  5. Побудова визначника Вронського, складеного з рішень ЛОДУ L [y] = 0 на проміжку (a, b), дозволяє відповісти на питання про те, чи є ці рішення лінійно-залежними. Нескладно довести, що якщо функції у1 (x), у2 (x), …, уn (x) лінійно залежні на проміжку (a, b), то визначник Вронського цих функцій дорівнює нулю у всіх точках інтервалу. Враховуючи дане властивість ЛОДУ, можна легко сформулювати наступне твердження.
  6. Для того щоб рішення ЛОДУ у1 (x), у2 (x), …, уn (x) з безперервними на інтервалі (a, b) коефіцієнтами були лінійно незалежні, необхідно і достатньо, щоб їх визначник Вронського W (x) не дорівнював нулю ні в одній точці даного проміжку (a, b).
  7. Тільки тепер, на заключному етапі, дати остаточну відповідь на поставлене запитання.
    Будь сукупність n лінійно незалежних приватних рішень рівняння (1) називається фундаментальною системою рішень (ФСР) цього рівняння. Крім того, стає зрозуміло, що безпосередній відповідь «як знайти» може бути отриманий за допомогою визначника Вронського лише після відповіді на питання «Як вирішити ЛОДУ?».