Як знайти градієнт функції


 

Градієнт функції — векторна величина, знаходження якої пов’язане з визначенням приватних похідних функції. Напрямок градієнта вказує шлях якнайшвидшого зростання функції від однієї точки скалярного поля до іншої.


Інструкція

  1. Для вирішення завдання на градієнт функції використовуються методи диференціального числення, а саме знаходження приватних похідних першого порядку по трьом змінним. При цьому передбачається, що сама функція і всі її приватні похідні володіють властивістю безперервності в області визначення функції.
        
  2. Градієнт — це вектор, напрям якого вказує напрямок максимально швидкого зростання функції F. Для цього на графіку вибираються дві точки M0 і M1, які є кінцями вектора. Величина градієнта дорівнює швидкості зростання функції від точки M0 до точки M1.
        
  3. Функція дифференцируема у всіх точках цього вектора, отже, проекціями вектора на координатних осях є всі її приватні похідні. Тоді формула градієнта виглядає наступним чином:
    grad = (∂ F / ∂ х) • i + (∂ F / ∂ y) • j + (∂ F / ∂ z) • k, де i, j, k — координати одиничного вектора. Іншими словами, градієнт функції — це вектор, координатами якого є її приватні похідні grad F = (∂ F / ∂ х, ∂ F / ∂ y, ∂ F / ∂ z).
        
  4. Приклад 1.
    Нехай задана функція F = sin (х • z ²) / y. Потрібно знайти її грaдіент в точці (π / 6, 1/4, 1).
        
  5. Рішення.
    Визначте приватні похідні по кожній змінної:
    F’_х = 1 / y • соs (х • z ²) • z ²;
    F’_y = sin (х • z ²) • (-1) • 1 / (y ²);
    F’_z = 1 / y • соs (х • z ²) • 2 • х • z.
        
  6. Підставте відомі значення координат точки:
    F’_x = 4 • соs (π / 6) = 2 • √ 3; F’_y = sin (π / 6) • (-1) • 16 = -8; F’_z = 4 • соs (π / 6 ) • 2 • π / 6 = 2 • π / √ 3.
        
  7. Застосуйте формулу градієнта функції:
    grаd F = 2 • √ 3 • i — 8 • j + 2 • π / √ 3 • k.
        
  8. Приклад 2.
    Знайдіть координати градієнта функції F = y • arсtg (z / x) в точці (1, 2, 1).
        
  9. Рішення.
    F’_х = 0 • аrсtg (z / х) + y • (аrсtg (z / х)) ‘_х = y • 1 / (1 + (z / х) ²) • (-z / х ²) =-y • z / (х ² • (1 + (z / х) ²)) = -1;
    F’_y = 1 • аrсtg (z / х) = аrсtg 1 = π / 4;
    F’_z = 0 • аrсtg (z / х) + y • (аrсtg (z / х)) ‘_z = y • 1 / (1 + (z / х) ²) • 1 / х = y / (х • (1 + (z / х) ²)) = 1.
    grаd = (-1, π / 4, 1).