Як знайти інтервал збіжності


 

Степенній ряд — окремий випадок функціонального ряду, члени якого — статечні функції. Їх широке розповсюдження пов’язане з тим, що при виконанні ряду умов вони сходяться до заданих функцій і є найбільш зручним аналітичним апаратом для їх подання.



Інструкція

  1. Степенній ряд — це окремий випадок функціонального ряду. Він має вигляд
                             0 + c1 (z-z0) + c2 (z-z0) ^ 2 + … + cn (z-z0) ^ n + …. (1)
    Якщо зробити підстановку x = z-z0, то цей ряд прийме вигляд
                                 c0 + c1x + c2x ^ 2 + … + cn (x ^ n) + …. (2)
        
  2. В даному випадку ряди виду (2) більш зручні для розгляду. Очевидно, що будь-степеневий ряд сходиться при х = 0. Безліч точок, в яких ряд є збіжним (область збіжності), можна знайти спираючись на теорему Абеля. З неї випливає, що якщо ряд (2) є збіжним в точці x0 ≠ 0, то він сходиться для всіх х, що задовольняють нерівності | x |
  3. Відповідно, якщо в певній точці х1 ряд розходиться, то це спостерігається при всіх х, для яких | x1 |> | b |.
    Ілюстрація рис.1, де х1 і х0 вибрані великими нуля, дозволяє зрозуміти, що все х1> x0. Тому при їх зближенні неминуче виникне ситуація х0 = х1. У цьому випадку ситуація зі збіжністю, при проходженні злилися точок (назвемо їх-R і R) змінюється стрибкоподібно. Оскільки геометрично R довжина, то число R ≥ 0 називається радіусом збіжності степеневого ряду (2). Інтервал (-R, R) називається інтервалом збіжності степеневого ряду. Можливо і R = + ∞. При x = ± R ряд стає числовим і його аналіз проводиться на основі відомостей про числові рядах.
        
  4. Для визначення R ряд досліджується на абсолютну збіжність. Тобто складається ряд з абсолютних величин членів вихідного ряду. Дослідження можна проводити на основі ознак Даламбера і Коші. При їх застосуванні відшукуються межі, які порівнюються з одиницею. Тому межа дорівнює одиниці досягається при х = R. При вирішенні за ознакою Даламбера спочатку відшукується межа, представлений на рис. 2а. Позитивне число х, при якому ця межа дорівнює одиниці, буде радіусом R (див. рис. 2b). При дослідженні ряду по радикальному ознакою Коші формула для обчислення R прийме вигляд (див. рис. 2c).
        
  5. Формули, представлені на рис. 2 застосовуються за умови, що розглядаються межі існують. Для степеневого ряду (1) інтервал збіжності записується у вигляді (z0-R, z0 + R).