Як знайти координати кінця вектора


 

У фізиці та математиці вектор характеризується величиною і напрямком, а поміщений в ортогональну систему координат він однозначно задається парою точок — початковій і кінцевій. Відстань між точками визначає величину вектора, а кут нахилу утвореного ними відрізка до координатним осям характеризує напрям. Знаючи координати точки додатка (початкової точки), а також деякі з параметрів спрямованого відрізка можна обчислити і координати кінцевої точки. До таких параметрів належать кути нахилу до осей, скалярна величина вектора (довжина спрямованого відрізка), величини проекцій на координатні осі.



Інструкція

  1. Представлення вектора в ортогональному просторі сумою декількох спрямованих відрізків, кожен з яких лежить на одній з осей, називають розкладанням вектора на складові. В умовах задачі вектор може бути заданий скалярними величинами своїх складових. Наприклад, запис ā (X; Y), означає, що величина складової вздовж осі абсцис дорівнює X, а вздовж осі ординат Y. Якщо в умовах є координати початкової точки спрямованого відрізка А (X ₁; Y ₁), обчислити просторове положення кінцевої точки B буде легко — просто додайте до значень абсциси і ординати величини складових, якими задано вектор: B (X ₁ + X; Y ₁ + Y).
  2. Для тривимірної системи координат використовуйте ті ж правила — вони дійсні в декартовому просторі будь-якої розмірності. Наприклад, вектор може бути заданий набором з трьох чисел ā (28; 11; -15) і координатами точки прикладання А (-38; 12; 15). Тоді координатам кінцевої точки на осі абсцис буде відповідати відмітка 28 + (-38) = -10, на осі ординат 11 +12 = 23, а на осі аплікат -15 +15 = 0: В (-10; 23; 0).
  3. Якщо у вихідних умовах наведені координати початкової точки вектора А (X ₁; Y ₁), довжина спрямованого відрізка | АВ | = a і величина його нахилу α до однієї з координатних осей, такий набір даних теж дозволить однозначно визначити кінцеву точку в двомірному просторі. Розгляньте трикутник, складений вектором і двома його проекціями на координатні осі. Кут, утворений проекціями, буде прямим, а навпаки однієї з них — наприклад, X — буде лежати кут відомої з умов задачі величини α. Щоб знайти довжину цієї проекції використовуйте теорему синусів: X / sin (α) = a / sin (90 °). З неї випливає, що X = a * sin (α).
  4. Для знаходження другої проекції (Y) скористайтеся тим, що по теоремі про суму кутів трикутника лежить навпроти неї кут має дорівнювати 180 ° -90 °-α = 90 °-α. Це дасть вам можливість для обчислення довжини і цієї проекції застосувати теорему синусів — виділіть Y з рівності Y / sin (90 °-α) = a / sin (90 °). В результаті у вас повинна вийти така формула: Y = a * sin (90 °-α).
  5. Підставте отримані на двох попередніх кроках вирази для довжин проекцій в формулу з першого кроку і розрахуйте координати кінцевої точки. Якщо рішення треба представити в загальному вигляді, шукані координати запишіть так: В (X ₁ + a * sin (α); Y ₁ + a * sin (90 ° — α)).