Як знайти координати перетину висот у трикутнику


 

Лінія, проведена з вершини трикутника перпендикулярно до протилежної сторони, називається його висотою. Знаючи координати вершин трикутника, можна знайти його ортоцентр — точку перетину висот.


Інструкція

  1. Розгляньте трикутник з вершинами A, B, C, координати яких, відповідно (xa, ya), (xb, yb), (xc, yc). Проведіть висоти з вершин трикутника і позначте точку перетину висот як точку О з координатами (x, y), які і необхідно знайти.
  2. Складіть рівняння сторін трикутника. Сторона AB виражається рівнянням (x-xa) / (xb-xa) = (y-ya) / (yb-ya). Наведіть рівняння до виду y = k × x + b: x × yb-x × ya-xa × yb + xa × ya = y × xb-y × xa-ya × xb + ya × xa, що рівносильно y = (( yb-ya) / (xb-xa)) × x + xa × (ya-yb) / (xb-xa) + ya. Позначте кутовий коефіцієнт k1 = (yb-ya) / (xb-xa). Аналогічним чином знайдіть рівняння будь-якої іншої сторони трикутника. Сторона AC задається формулою (x-xc) / (xa-xc) = (y-yc) / (ya-yc), y = ((ya-yc) / (xa-xc)) × x + xc × (ya -yc) / (xc-xa) + ya. Кутовий коефіцієнт k2 = (yc-yb) / (xc-xb).
  3. Запишіть ураненіе висот трикутника, проведених з вершин B і C. Так як висота, що виходить з вершини B, буде перпендикулярна стороні AС, то її рівняння буде мати вигляд y-ya = (-1/k2) × (x-xa). А висота, що проходить перпендикулярно стороні AB і виходить з точки C, буде виражатися у вигляді y-yc = (-1/k1) × (x-xc).
  4. Знайдіть точку перетину двох висот трикутника, вирішивши систему з двох рівнянь з двома невідомими: y-ya = (-1/k2) × (x-xa) і y-yb = (-1/k1) × (x-xb). Висловіть змінну y з обох рівнянь, прирівняти ці вирази і вирішите рівняння щодо x. А потім підставте отримане значення x в одне з рівнянь і знайдіть y.
  5. Розгляньте для найкращого розуміння питання приклад. Нехай дано трикутник з вершинами A (-3, 3), B (5, -1) і C (5, 5). Складіть рівняння сторін трикутника. Сторона AB виражається за формулою (x +3) / (5 +3) = (y-3) / (-1-3) або y = (-1 / 2) × x +3 / 2, тобто k1 = — 1/2. Сторона AC задається рівнянням (x +3) / (5 +3) = (y-3) / (5-3), тобто y = (1/4) × x +15 / 4. Кутовий коефіцієнт k2 = 1/4. Рівняння висоти, що виходить з вершини C: y-5 = 2 × (x-5) або y = 2 × x-5, а висоти, що виходить з вершини B: y-5 = -4 × (x +1), що є y = -4 × x +19. Вирішити систему з цих двох рівнянь. Виходить, що ортоцентр має координати (4, 3).