Як знайти координати проекцій точок


 

Пара точок, одна з яких є проекцією іншого на площину, дозволяє скласти рівняння прямої, якщо відомо рівняння площині. Після цього завдання знаходження координат точки проекції можна звести до визначення точки перетину побудованої прямої і площини в загальному вигляді. Після отримання системи рівнянь в неї залишиться підставити значення координат вихідної точки.



Інструкція

  1. Розгляньте пряму, що проходить через точку A ₁ (X ₁; Y ₁; Z ₁), координати якої відомі з умов завдання, і її проекцію на площину A ₒ (X ₒ; Y ₒ; Z ₒ), координати якої потрібно визначити. Ця пряма повинна бути перпендикулярна площині, тому в якості направляючого вектора використовуйте нормальний до площини вектор. Площина задається рівнянням a * X + b * Y + c * Z — d = 0, значить, нормальний вектор можна позначити як ā = {a; b; c}. Виходячи з цього вектора і координат точки, складіть канонічні рівняння розглянутої прямий: (X-X ₁) / a = (Y-Y ₁) / b = (Z-Z ₁) / c.
  2. Знайдіть точку перетину прямої з площиною, записавши отримані в попередньому кроці рівняння в параметричній формі: X = a * t + X ₁, Y = b * t + Y ₁ і Z = c * t + Z ₁. Ці висловлювання підставте у відоме з умов рівняння площини, щоб знайти таке значення параметра t ₒ, при якому пряма перетинає площину:

    a * (a * t ₒ + X ₁) + b * (b * t ₒ + Y ₁) + c * (c * t ₒ + Z ₁) — d = 0

    Перетворіть його так, щоб у лівій частині рівності залишилася тільки мінлива t ₒ:

    a ² * t ₒ + a * X ₁ + b ² * t ₒ + b * Y ₁ + c ² * t ₒ + c * Z ₁ — d = 0
    a ² * t ₒ + b ² * t ₒ + c ² * t ₒ = d — a * X ₁ — b * Y ₁ — c * Z ₁
    t ₒ * (a ² + b ² + c ²) = d — a * X ₁ — b * Y ₁ — c * Z ₁
    t ₒ = (d — a * X ₁ — b * Y ₁ — c * Z ₁) / (a ​​² + b ² + c ²)
      


  3. Підставте отримане значення параметра для точки перетину в рівняння проекцій на кожну координатну вісь з другого кроку:

    X ₒ = a * t ₒ + X ₁ = a * ((d — a * X ₁ — b * Y ₁ — c * Z ₁) / (a ​​² + b ² + c ²)) + X ₁
    Y ₒ = b * t ₒ + Y ₁ = b * ((d — a * X ₁ — b * Y ₁ — c * Z ₁) / (a ​​² + b ² + c ²)) + Y ₁
    Z ₒ = c * t ₒ + Z ₁ = c * ((d — a * X ₁ — b * Y ₁ — c * Z ₁) / (a ​​² + b ² + c ²)) + Z ₁

    Розраховані за цими формулами величини і будуть значеннями абсциси, ординати і аплікати точки проекції. Наприклад, якщо вихідна точка A ₁ задана координатами (1; 2; -1), а площину визначена формулою 3 * X-Y +2 * Z-27 = 0, координати проекції цієї точки будуть рівні:

    X ₒ = 3 * ((27 — 3 * 1 — (-1 * 2) — 2 * (-1)) / (3 ² + (-1 ²) + 2 ²)) + 1 = 3 * 28/14 + 1 = 7

    Y ₒ = -1 * ((27 — 3 * 1 — (-1 * 2) — 2 * (-1)) / (3 ² + (-1 ²) + 2 ²)) + 2 = -1 * 28 / 14 + 2 = 0

    Z ₒ = 2 * ((27 — 3 * 1 — (-1 * 2) — 2 * (-1)) / (3 ² + (-1 ²) + 2 ²)) + (-1) = 2 * 28 / 14 — 1 = 3

    Значить, координати точки проекції A ₒ (7; 0, 3).