Як знайти координати точок перетину медіан


 

З курсу шкільної геометрії відомо, що медіани трикутника перетинаються в одній точці. Тому розмова слід вести про точку перетину, а не про декількох точках.



Інструкція


  1. Як знайти координати точок перетину медіан

                            Спочатку необхідно обговорити вибір зручної для рішення завдання системи координат. Зазвичай в задачах такого роду одну зі сторін трикутника поміщають на осі 0Х так, щоб одна точка збігалася з початком координат. Тому не варто відходити від загальноприйнятих канонів рішення і зробити також (див. рис. 1). Спосіб завдання самого трикутника не грає принципової ролі, так як завжди можна перейти від одного з них до іншого (у чому ви надалі зможете переконатися).
  2. Нехай шуканий трикутник заданий двома векторами його сторін АС і АВ a (x1, y1) і b (x2, y2), відповідно. Більш того, з побудови y1 = 0. Третя сторона НД відповідає c = ab, c (x1-x2, y1-y2), відповідно до даної ілюстрації. Точка А поміщена в початок координат, тобто її координати А (0, 0). Легко також помітити, що координати В (x2, y2), a C (x1, 0). Звідси можна зробити висновок, що завдання трикутника двома векторами автоматично збіглося з його завданням трьома крапками.
  3. Далі слід добудувати шуканий трикутник до відповідного йому за розмірами паралелограма ABDC. При цьому відомо, що в точці перетину діагоналей паралелограма вони діляться навпіл, так, що АQ медіана трикутника АВС, опускається з А на сторону НД Вектор діагоналі s містить цю медіану і є, за правилом паралелограма, геометричної сумою a і b. Тоді s = a + b, а його координати s (x1 + x2, y1 + y2) = s (x1 + x2, y2). Такі ж координати будуть і у точки D (x1 + x2, y2).
  4. Тепер можна переходити до складання рівняння прямої, яка містить s, медіану AQ і, са-моє головне, шукану точку перетину медіан H. Так як сам вектор s є направляю-щим для даної прямої, а також відома точка А (0, 0), що належить їй, то найпростіше — це використовувати рівняння плоскої прямий в канонічному вигляді:
    (X-x0) / m = (y-y0) / n.
    Тут (x0, y0) координати довільної точки прямої (точка А (0, 0)), а (m, n) — координати s (вектор (x1 + x2, y2). І так, шукана пряма l1 буде мати вигляд: < br />
    x / (x1 + x2) = y / y2.
        
  5. Самий природний спосіб знаходження координат точки — це визначення її в перетині двох прямих. Тому слід знайти ще одну пряму, яка містить т. Н. Для цього на рис. 1 виконано побудова ще одного паралелограма АPBC, діагональ якого g = a + c = g (2×1-x2,-y2) містить другий медіану CW, опущену з С на сторону АВ. Це діагональ містить точку С (x1, 0), координати якої будуть грати роль (x0, y0), а спрямовує вектор тут буде
    g (m, n) = g (2×1-x2,-y2).

    Звідси l2 задається рівнянням:
    (X-x1) / (2 x1-x2) = y / (- y2).
        


  6. Вирішивши спільно рівняння для l1 і l2, легко знайти координати точки перетину медіан Н:
    Н ((x1 + x1) / 3, y2 / 3).