Як знайти координати центру кола


 

Коло — геометричне місце точок площини, рівновіддалених від центру на деяку відстань, зване радіусом. Якщо задана нульова точка відліку, одиничний відрізок і напрямок координатних осей, центр кола буде характеризуватися певними координатами. Як правило, окружність розглядають в декартовій прямокутній системі координат.



Інструкція

  1. Аналітично окружність задається рівнянням виду (x-x0) ² + (y-y0) ² = R ², де x0 і y0 — координати центру кола, R — її радіус. Отже, центр кола (x0; y0) тут поставлено в явному вигляді.
  2. Приклад. Встановіть центр фігури, заданої в декартовій системі координат рівнянням (x-2) ² + (y-5) ² = 25.
    Рішення. Дане рівняння є рівнянням кола. Її центр має координати (2, 5). Радіус такої окружності дорівнює 5.
  3. Рівняння x ² + y ² = R ² відповідає окружності з центром на початку координат, тобто, в точці (0; 0). Рівняння (x-x0) ² + y ² = R ² означає, що центр окружності має координати (x0; 0) і лежить на осі абсцис. Вид рівняння x ² + (y-y0) ² = R ² говорить про розташування центру з координатами (0; y0) на осі ординат.
  4. Загальне рівняння кола в аналітичній геометрії запишеться як: x ² + y ² + Ax + By + C = 0. Щоб привести таке рівняння до вище зазначеного виду, треба згрупувати члени і виділити повні квадрати: [x ² +2 (A / 2) x + (A / 2) ²] + [y ² +2 (B / 2) y + (B / 2) ²] + C-(A / 2) ² — (B / 2) ² = 0. Для виділення повних квадратів, як можна помітити, потрібно додавати додаткові величини: (A / 2) ² і (B / 2) ². Щоб знак рівності зберігався, ці ж величини треба відняти. Додаток і віднімання одного і того ж числа не змінює рівняння.
  5. Таким чином, виходить: [x + (A / 2)] ² + [y + (B / 2)] ² = (A / 2) ² + (B / 2) ²-C. З цього рівняння вже видно, що x0 =-A / 2, y0 =-B / 2, R = √ [(A / 2) ² + (B / 2) ²-C]. До речі, вираз для радіуса можна спростити. Домножьте обидві частини рівності R = √ [(A / 2) ² + (B / 2) ²-C] на 2. Тоді: 2R = √ [A ² + B ²-4C]. Звідси R = 1/2 · √ [A ² + B ²-4C].
  6. Коло не може бути графіком функції в декартовій системі координат, так як, за визначенням, до функцій кожного x відповідає єдине значення y, а для кола таких «ігрек» буде два. Щоб переконатися в цьому, проведіть перпендикуляр до осі Ox, що перетинає коло. Ви побачите, що точок перетину дві.
  7. Але коло можна представити як об’єднання двох функцій: y = y0 ± √ [R ² - (x-x0) ²]. Тут x0 і y0, відповідно, є шукані координати центру кола. При збігу центру кола з початком координат об’єднання функцій приймає вигляд: y = √ [R ²-x ²].

Зверніть увагу

Два кола, які мають центром точку з одними і тими ж координатами, називаються концентричними. Якщо вони задані рівняннями (x-x0) ² + (y-y0) ² = R ² і (x-x0 ‘) ² + (y-y0′) ² = R ‘², тоді x0 = x0′, y0 = y0 ‘ . Загалом рівнянні для концентричних кіл A1 = A2 і B1 = B2.

Корисні поради

речі, у фізиці окружність може розглядатися як тонке однорідне кільце. Центр цього кільця буде центром мас (або центром інерції) такого тіла. Якщо кільце має масу m і радіус r, а через центр перпендикулярно площині кільця провести вісь, то момент інерції кільця відносно осі буде дорівнювати mr ². Момент інерції принципово важливий при розгляді обертового руху тіла.