Як знайти криву другого порядку


 

Крива другого порядку — це геометричне місце точок, що задовольняють рівнянню ax ² + fy ² +2 bxy +2 cx +2 gy + k = 0, в якому x, y змінні, a, b, c, f, g, k — коефіцієнти, і a ² + b ² + c ² відмінно від нуля.


Інструкція

  1. Наведіть рівняння кривої до канонічності увазі. Розгляньте канонічний вид рівняння для різних кривих другого порядку: парабола y ² = 2px; гіпербола x ² / q ²-y ² / h ² = 1; еліпс x ² / q ² + y ² / h ² = 1; дві пересічні прямі x ² / q ²-y ² / h ² = 0; точка x ² / q ² + y ² / h ² = 0; дві паралельні прямі x ² / q ² = 1, одна пряма x ² = 0; уявний еліпс x ² / q ² + y ² / h ² = -1.
  2. Обчисліть інваріанти: Δ, D, S, B. Для кривої другого порядку Δ визначає, чи є крива істинної — невиродженої або граничним випадком однією із справжніх — виродженої. D визначає симетрію кривої.
  3. Визначте, чи є крива виродженої. Обчисліть Δ. Δ = afk-agg-bbk + bgc + cbg-cfc. Якщо Δ = 0, то крива вироджена, якщо Δ не дорівнює нулю, то невироджена.
  4. З’ясуйте характер симетрії кривої. Обчисліть D. D = a * f-b ². Якщо він не дорівнює нулю, то крива має центр симетрії, якщо дорівнює, то, відповідно, не має.
  5. Обчисліть S і B. S = a + f. Інваріант В дорівнює сумі двох квадратних матриць: перша зі стовпцями a, c і c, k, друга зі стовпцями f, g і g, k.
  6. Визначте тип кривої. Розгляньте вироджені криві, коли Δ = 0. Якщо D> 0, то це точка. Якщо D0 — дві уявні паралельні, а при A = 0 — дві збігаються, що злилися прямі.
  7. Розгляньте невироджені криві — це еліпс, гіпербола і парабола. Якщо D = 0, то це парабола, її рівняння y ² = 2px, де p> 0. Якщо D0. Якщо D> 0, а S0, h> 0. Якщо D> 0, а S> 0, то це уявний еліпс — немає жодної точки на площині.
  8. Виберіть тип кривої другого порядку, який вам підходить. Наведіть вихідне рівняння, якщо потрібно, до канонічного виду.
  9. Розгляньте для прикладу рівняння y ²-6x = 0. Отримайте коефіцієнти, виходячи з рівняння ax ² + fy ² +2 bxy +2 cx +2 gy + k = 0. Коефіцієнти f = 1, c = 3, а решта коефіцієнти a, b, g, k дорівнюють нулю.
  10. Обчисліть величини Δ і D. Отримайте Δ = -3 * 1 * 3 = -9, а D = 0. Це означає, що крива невироджена, так як Δ не дорівнює нулю. Оскільки D = 0, то крива не має центру симетрії. За сукупністю ознак, рівняння є параболою. y ² = 6x.