Як знайти кут між прямою і площиною, якщо дано точки


 

Завдання ставиться до аналітичної геометрії. Її рішення можна знайти на основі рівнянь прямої та площини у просторі. Таких рішень, як правило, декілька. Все залежить від вихідних даних. При цьому будь-який вид рішення без великих трудовитрат може бути переведений в інший.


Інструкція


  1.  Як знайти кут між прямою і площиною, якщо дано точки

                  Поставлену задачу наочно ілюструє малюнок 1. Обчисленню підлягає кут α між прямою ℓ (точніше, її направляють вектором s) і проекцією напрямки прямий на площину δ. Це незручно тим, що тоді доводиться шукати напрям Прs. Набагато простіше спочатку знайти кут β між направляючим вектором прямої s вектором нормалі до площини n. Очевидно (див. рис. 1), що α = π/2-β.
  2. Фактично для вирішення завдання залишилося визначити нормальний і спрямовує вектори. В поставленому питанні згадані задані точки. Тільки не вказано — які саме. Якщо це точки, що визначають як площину, так і пряму, то їх не мене п’яти. Справа в тому, що для однозначного завдання площині потрібно знати три її точки. Пряма однозначно задається двома точками. Тому слід вважати, що дані точки М1 (x1, y1, z1), M2 (x2, y2, z2), M3 (x3, y3, z3) (задають площину), а також M4 (x4, y4, z4) і M5 (x5, y5, z5) (задають пряму).
  3. Для визначення направляючого вектора s вектора прямої зовсім не обов’язково розташовувати її рівнянням. Досить покласти s = M4M5, і тоді його координати s = {x5-x4, y5-y4, z5-z4} (рис. 1). Це ж можна сказати і про вектор нормалі до поверхні n. Для його обчислення знайдіть вектори М1М2 і М1М3, показані на малюнку. M1M2 = {x2-x1, y2-y1, z2-z1}, M1M3 = {x3-x1, y3-y1, z3-z1}. Ці вектори лежать в площині δ. Нормаль n перпендикулярна площині. Тому покладіть її рівною векторному добутку М1М2 × М1М3. При цьому зовсім не страшно, якщо нормаль виявиться спрямованої протилежно тій, яка приведена на рис. 1.

  4.  Як знайти кут між прямою і площиною, якщо дано точки

                  Векторне твір зручно обчислювати з використанням вектора-визначника, який слід розкривати по першій його рядку (див. рис. 2a). Підставте в представлений визначник замість координат вектора а координати М1М2, замість b — M1M3 і позначите їх А, B, C (саме так записуються коефіцієнти загального рівняння площини). Тоді n = {А, B, C}. Для визначення кута β використовуйте скалярний твір (n, s) і спосіб його обчислення в координатній формі. сosβ = (A (x5-x4) + B (y5-y4) + C (z5-z4)) / (| n | | s |). Так як для шуканого кута α = π/2-β (рис. 1), то sinα = cosβ. Остаточну відповідь наведено на рис. 2b.