Як знайти кут між вектором і площиною


 

Вектор — спрямований відрізок прямої, що має певну довжину. У просторі він задається трьома проекціями на відповідні осі. Можна знайти кут між вектором і площиною, якщо вона представлена ​​координатами своєї нормалі, тобто загальним рівнянням.


Інструкція

  1. Площина — це основна просторова фігура геометрії, яка бере участь у побудові всіх двомірних і тривимірних форм, таких як трикутник, квадрат, паралелепіпед, призма, окружність, еліпс і т.д. У кожному конкретному випадку вона обмежується певним набором ліній, які, перетинаючись, утворюють замкнену фігуру.
      
  2. Загалом же вигляді площину не обмежується нічим, вона простягається по різні боки від своєї твірної прямій. Це плоска нескінченна фігура, яка, тим не менш, може бути задана рівнянням, тобто кінцевими числами, які є координатами її нормального вектора.
  3. Виходячи з вищесказаного, можна знайти кут між будь-яким вектором і площиною, використовуючи формулу косинуса кута між двома векторами. Спрямовані відрізки можуть бути розташовані в просторі як завгодно, проте кожен вектор має таку властивість, що його можна переміщати без втрати основних характеристик, напрями і довжини. Цим і треба скористатися, щоб розрахувати кут між віддаленими векторами, помістивши їх візуально в одну початкову точку.
  4. Отже, нехай задано вектор V = (а, b, с) і площина А • x + В • y + C • z = 0, де А, В і C — координати нормалі N. Тоді косинус кута α між векторами V та N дорівнює:

    сos α = (а • А + b • В + з • C) / (√ (а ² + b ² + с ²) • √ (А ² + В ² + C ²)).


  5. Щоб обчислити величину кута в градусах або радіанах, потрібно від отриманого виразу розрахувати функцію, зворотну до косинусу, тобто арккосинус:

    α = аrссos ((а • А + b • В + з • C) / (√ (а ² + b ² + с ²) • √ (А ² + В ² + C ²))).


  6. Приклад: знайдіть кут між вектором (5, -3, 8) і площиною, заданої загальним рівнянням 2 • x — 5 • y + 3 • z = 0.

    Рішення: випишіть координати нормального вектора площини N = (2, -5, 3). Підставте всі відомі значення в наведену формулу:

    сos α = (10 + 15 + 24) / √ 3724 ≈ 0,8 → α = 36,87 °.