Як знайти кути, коли відомі довжини сторін трикутника


 

Величини кутів, що лежать в вершинах трикутника, і довжини сторін, що утворюють ці вершини, пов’язані між собою певними співвідношеннями. Ці відносини виражаються найчастіше через тригонометричні функції — в основному, через синус і косинус. Знання довжин всіх сторін фігури досить, щоб з використанням цих функцій відновити величини всіх трьох кутів.



Інструкція

  1. Для обчислення величини кожного з кутів довільного трикутника використовуйте теорему косинусів. Вона говорить, що квадрат довжини будь-якого боку (наприклад, A) дорівнює сумі квадратів довжин двох інших сторін (B і C), з якої вирахувано твір їх же довжин на косинус кута (α), що лежить в утвореної ними вершині. Це означає, що ви можете висловити косинус через довжини сторін: cos (α) = (B ² + C ²-A ²) / (2 * A * B). Щоб отримати величину цього кута в градусах, до отриманого виразу застосуєте зворотну косинусу функцію — арккосинус: α = arccos ((B ² + C ²-A ²) / (2 * A * B)). Таким способом ви обчисліть величину одного з кутів — в даному випадку того, що лежить навпроти боку А.
  2. Для обчислення двох, що залишилися кутів можна використовувати ту ж формулу, змінюючи в ній місцями довжини відомих сторін. Але більш просте вираження з меншим числом математичних операцій можна отримати, задіявши інший постулат з області тригонометрії — теорему синусів. Вона стверджує, що відношення довжини будь-якого боку до синуса протилежного їй кута в трикутнику рівні. Це означає, що ви можете висловити, наприклад, синус кута β, що лежить навпроти боку B через довжину сторони C і вже розрахованого кута α. Помножте довжину B на синус α, а результат розділите на довжину C: sin (β) = B * sin (α) / C. Величину цього кута в градусах, як і в попередньому кроці, розрахуйте з використанням зворотної тригонометричної функції — на цей раз арксинуса: β = arcsin (B * sin (α) / C).
  3. Величину залишився кута (γ) можна обчислити за будь-який з отриманих в попередніх кроках формул, помінявши в них місцями довжини сторін. Але простіше задіяти ще одну теорему — про суму кутів в трикутнику. Вона стверджує, що ця сума завжди дорівнює 180 °. Так як два з трьох кутів вам уже відомі, просто відніміть від 180 ° їх величини, щоб отримати величину третього: γ = 180 °-α-β.