Як знайти мінімальне значення функції


 

Необхідність знайти мінімальне значення математичної функції являє собою практичний інтерес у вирішенні прикладних задач, наприклад, в економіці. Велике значення для підприємницької діяльності має мінімізація збитків.



Інструкція

  1. Щоб знайти мінімальне значення функції, потрібно визначити, при якому значенні аргументу x0 буде виконуватися нерівність y (x0) ≤ y (x), де x ≠ x0. Як правило, це завдання вирішується на певному інтервалі або у всій області значень функції, якщо такої не встановлено. Одним з аспектів вирішення є знаходження стаціонарних точок.
      
  2. Стаціонарної точкою називається значення аргументу, при якому похідна функції звертається в нуль. Згідно теоремі Ферма, якщо дифференцируемая функція приймає екстремальне значення в деякій точці (в даному випадку — локальний мінімум), то ця точка є стаціонарною.
      
  3. Мінімальне значення функція часто приймає саме в цій точці, однак її можна визначити не завжди. Більш того, не завжди можна з точністю сказати, чому дорівнює мінімум функції або він приймає нескінченно мале значення. Тоді, як правило, знаходять межа, до якої вона прагне при убуванні.
      
  4. Для того щоб визначити мінімальне значення функції, потрібно виконати послідовність дій, що складається з чотирьох етапів: знаходження області визначення функції, отримання стаціонарних точок, аналіз значень функції в цих точках і на кінцях інтервалу, виявлення мінімуму.
      
  5. Отже, нехай задана деяка функція y (x) на інтервалі з кордонами в точках А і В. Знайдіть область її визначення та з’ясуйте, чи є інтервал її підмножиною.
      
  6. Обчисліть похідну функції. Прирівняти отриманий вираз нулю і знайдіть коріння рівняння. Перевірте, чи потрапляють ці стаціонарні точки в інтервал. Якщо ні, то на наступному етапі вони не враховуються.
      
  7. Розгляньте інтервал на предмет типу кордонів: відкриті, закриті, комбіновані або нескінченні. Від цього залежить, як ви будете шукати мінімальне значення. Наприклад, відрізок [А, В] є закритим інтервалом. Підставте їх у функцію і розрахуйте значення. Те ж саме виконайте зі стаціонарною точкою. Виберіть мінімальний результат.
      
  8. З відкритими і нескінченними інтервалами справа дещо складніша. Тут доведеться шукати односторонні межі, які не завжди дають однозначний результат. Наприклад, для інтервалу з одного закритою і однієї виколоти кордоном [А, В) слід знайти функцію при х = А і односторонній межа lim y при х → В-0.