Як знайти модуль комплексного числа


 

Дійсних чисел недостатньо для того, щоб вирішити будь-яке квадратне рівняння. Найпростіше з квадратних рівнянь, що не мають коренів серед дійсних чисел — це x ^ 2 +1 = 0. При його вирішенні виходить, що x = ± sqrt (-1), а згідно законам елементарної алгебри, витягти корінь парному ступеня з негативного числа можна.



Вам знадобиться

— папір;
- Ручка.

Інструкція

  1. В даному випадку є два шляхи: перший — дотримуватися встановлених заборон і вважати, що це рівняння коренів не має, другий — розширити систему дійсних чисел до такої міри, що рівняння буде мати коренем.
    Так з’явилося поняття комплексних чисел виду z = a + ib, в яких (i ^ 2) = -1, де i — уявна одиниця.
    Числа a і b називаються, відповідно, дійсної та уявної частинами числа z Rez і Imz.

    Важливу роль в діях з комплексними числами грають числа комплексно-зв’язані. Сполученим до комплексного числа z = a + ib називається zs = a-ib, тобто число має протилежний знак перед уявною одиницею. Так, якщо z = 3 +2 i, то zs = 3-2i.

    Будь дійсне число є окремим випадком комплексного числа, уявна частина якого дорівнює нулю. 0 + i0 — комплексне число, рівне нулю.


  2. Комплексні числа можна складати та перемножувати так само, як це роблять з алгебраїчними виразами. При цьому звичні закони додавання і множення залишаються в силі. Нехай z1 = a1 + ib1, z2 = a2 + ib2.

    1. Додавання і віднімання.
    z1 + z2 = (a1 + a2) + i (b1 + b2), z1-z2 = (a1-a2) + i (b1-b2).

    2. Множення.
    z1 * z2 = (a1 + ib1) (a2 + ib2) = a1a2 + ia1b2 + ia2b1 + (i ^ 2) b1b2 = (a1a2-b1b2) + i (a1b2 + a2b1).

    При множенні просто розкривають дужки і застосовують визначення i ^ 2 = -1. Твір комплексно-сполучених чисел є дійсним числом: z * zs = (a + ib) (a-ib) =
    = A ^ 2 — (i ^ 2) (b ^ 2) = a ^ 2 + b ^ 2.


  3. 3. Розподіл.
    Щоб привести приватне z1/z2 = (a1 + ib1) / (a2 + ib2) до стандартного вигляду потрібно позбутися від уявної одиниці в знаменнику. Для цього найпростіше помножити чисельник і знаменник на число, поєднане знаменника:
                ((A1 + ib1) (a2-ib2)) / ((a2 + ib2) (a2-ib2)) = ((a1a2 + b1b2) + i (a2b1-a1b2)) / (a ​​^ 2 + b ^ 2) =
                                             = (A1a2 + b1b2) / (a ​​^ 2 + b ^ 2) + i (a2b1-a1b2) / (a ​​^ 2 + b ^ 2).

    Операції додавання і віднімання, а також множення і ділення є взаємно зворотними.



  4. Як знайти модуль комплексного числа

                            Приклад. Обчислити (1-3i) (4 + i) / (2-2i) = (4-12i + i +3) (2 +2 i) / ((2-2i) (2 +2 i)) =
    (7-11i) (2 +2 i) / (4 +4) = (14 +22) / 8 + i (-22 +14) / 8 = 9/2-i
    Розгляньте геометричну інтерпретацію комплексних чисел. Для цього на площині з прямокутною декартовой системою координат 0xy кожному комплексному числу z = a + ib необхідно поставити у відповідність точку площини з координатами a і b (див. рис. 1). Площина, на якій реалізовано таку відповідність, називається комплексної площиною. На осі 0x розташовані дійсні числа, тому вона називається дійсною віссю. На осі 0y розташовані уявні числа, вона носить назву уявної осі.
        
  5. C кожною точкою z комплексної площини пов’язаний радіус-вектор цієї точки.
    Довжина радіус-вектора, який зображує комплексне число z, називається модулем
    r = | z | комплексного числа; а кут, між позитивним напрямом дійсної осі і напрямком вектора 0Z, називається аргументом argz цього комплексного числа.
  6. Аргумент комплексного числа вважається позитивним, якщо він відраховується від позитивного напрямку осі 0x проти годинникової стрілки, і негативним при протилежному напрямку. Одному комплексному числу відповідає безліч значень аргументу argz +2 ПK. З цих значень головними вважаються значення argz, що лежать в межах від-п до п. Парні комплексні числа z і zs мають рівні модулі, а їхні аргументи рівні за абсолютною величиною, але відрізняються знаком.
  7. Таким чином, | z | ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2, | z | = sqrt (a ^ 2 + b ^ 2). Так, якщо z = 3-5i, то | z | = sqrt (9 +25) = 6. Крім того, так як z * zs = | z | ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2, то стає можливим обчислення модулів цілих комплексних виразів, в яких уявна одиниця може з’являтися багато разів.

    Так як z = (1-3i) (4 + i) / (2-2i) = 9/2-i, то безпосереднє обчислення модуля z дасть | z | ^ 2 = 81/4 +1 = 85 / 4 і | z | = sqrt (85) / 2.
    Минаючи стадію обчислення вираження, враховуючи, що zs = (1 +3 i) (4-i) / (2 +2 i), можна записати:

    | z | ^ 2 = z * zs == (1-3i) (1 +3 i) (4 + i) (4-i) / ((2-2i) (2 +2 i)) = (1 +9) (16 +1) / (4 +4) = 85/4 та | z | = sqrt (85) / 2.