Як знайти найменший період функції


 

Функція, значення якої повторюються через певне число, називається періодичною. Тобто скільки б періодів ви не додали до значення х, функція буде дорівнює одному і тому ж числу. Будь-яке дослідження періодичних функцій починається з пошуку найменшого періоду, щоб не виконувати зайву роботу: достатньо вивчити всі властивості на відрізку, що дорівнює періоду.



Інструкція

  1. Скористайтеся визначенням періодичної функції. Всі значення х у функції замініть на (х + Т), де Т — найменший період функції. Вирішити отримане рівняння, вважаючи Т невідомим числом.
  2. В результаті ви отримаєте якесь тотожність, з нього спробуйте підібрати мінімальний період. Наприклад, якщо вийшло рівність sin (2T) = 0,5, отже, 2Т = П / 6, тобто Т = П/12.
  3. Якщо рівність виходить вірним тільки при Т = 0 або параметр Т залежить від х (наприклад, вийшло рівність 2Т = х), робіть висновок про те, що функція не періодична.
  4. Для того щоб дізнатися найменший період функції, що містить лише одне тригонометричне вираз, скористайтеся правилом. Якщо у виразі варто sin або cos, періодом для функції буде 2П, а для функцій tg, ctg ставте найменший період П. Врахуйте при цьому, що функція не повинна бути зведена до будь ступінь, а змінна під знаком функції не повинна бути помножена на число, відмінне від 1.
  5. Якщо cos або sin всередині функції зведені в парну ступінь, зменшіть період 2П в два рази. Графічно ви можете побачити це так: графік функції, розташований нижче осі ох, симетрично відіб’ється вгору, тому функція буде повторюватися в два рази частіше.
  6. Щоб знайти найменший період функції при тому, що кут х помножений на яке або число, дієте так: визначте стандартний період цієї функції (наприклад, для cos це 2П). Потім розділіть його на множник перед змінної. Це і буде шуканий найменший період. Зменшення періоду добре видно на графіку: він стискається рівно в стільки разів, на скільки помножений кут під знаком тригонометричної функції.
  7. Зверніть увагу, якщо перед х варто дробове число менше 1, період збільшується, тобто графік, навпаки, розтягується.
  8. Якщо у вашому виразі два періодичні функції помножені один на одного, знайдіть найменший період для кожної окремо. Потім визначте найменший загальний множник для них. Наприклад, для періодів П і 2/3П найменший загальний множник буде 3П (він ділиться без залишку як на П, так і на 2/3П).