Як знайти нормальний вектор


 

Перед тим як відповісти на поставлене запитання, потрібно визначити, нормаль чого саме необхідно шукати. В даному випадку, ймовірно, в задачі розглядається якась поверхню.


Інструкція

  1. Приступаючи до вирішення поставленого завдання, слід пам’ятати, що нормаль до поверхні визначається як нормаль до дотичної площини. Виходячи саме з цього і буде вибиратися методика рішення.
  2. Графік функції двох змінних z = f (x, y) = z (x, y) — це поверхня в просторі. Таким чином її найчастіше і задають. У першу чергу необхідно знайти дотичну площину до поверхні в деякій точці М0 (x0, y0, z0), де z0 = z (x0, y0).
  3. Для цього слід згадати, що геометричний зміст похідної функції одного аргументу, це кутовий коефіцієнт дотичної до графіка функції в точці, де y0 = f (x0). Приватні похідні функції двох аргументів знаходять, фіксуючи «зайвий» аргумент точно так само, як і похідні звичайних функцій. Значить геометричний сенс приватної похідною по x функції z = z (x, y) в точці (x0, y0) полягає в рівності її кутового коефіцієнта дотичної, до кривої, утвореної перетином поверхні і площини y = y0 (див. рис. 1).
  4. Дані, відображені на рис. 1, дозволяють зробити висновок, що рівняння дотичної до поверхні z = z (x, y), що містить точку
    М0 (xo, y0, z0) в перерізі при y = y0: m (x-x0) = (z-z0), y = y0. У канонічному вигляді можна записати: (x-x0) / (1 / m) = (z-z0) / 1, y = y0. Значить направляючий вектор цієї дотичної s1 (1 / m, 0, 1).
        
  5. Тепер, якщо кутовий коефіцієнт щодо для приватної похідною по y позначити n, то абсолютно очевидно, що аналогічно попередньому висловом, це призведе до (y-y0) / (1 / n) = (z-z0), x = x0 і s2 ( 0, 1 / n, 1).
  6. Далі просування рішення у вигляді пошуку рівняння дотичної площини можна припинити і перейти безпосередньо до шуканої нормалі n. Її можна отримати як векторний добуток n = [s1, s2]. Обчисливши його, буде визначено, що в заданій точці поверхні (x0, y0, z0).
    n = {-1 / n, -1 / m, 1/mn}.
        
  7. Так як будь-який пропорційний вектор також залишиться вектором нормалі, зручніше за все відповідь представити у вигляді n = {-n,-m, 1} і остаточно n (дz / дx, дz / дx, -1).

Зверніть увагу

У незамкненою поверхні є дві сторони. В даному випадку відповідь дан для «верхньої» сторони, там де нормаль утворює гострий кут з віссю 0Z.