Як знайти область визначення функції


 

Необхідність знайти область визначення функції виникає при вирішенні будь-якої задачі на дослідження її властивостей і побудова графіка. Тільки на цій множині значень аргументу має сенс робити обчислення.



Інструкція

  1. Нaйті область визначення — це перше, що слід робити при роботі з функціями. Це безліч чисел, якому належить аргумент функції, з накладенням деяких обмежень, які випливають з використання в її вираженні певних математичних конструкцій, наприклад, квадратного кореня, дробу, логарифма і т.д.
  2. Як правило, всі ці структури можна віднести до шести основних видів і їх всіляких комбінацій. Потрібно вирішити одне або кілька нерівностей, щоб визначити точки, в яких функція не може існувати.
  3. Степенева функція з показником ступеня у вигляді дробу з парних знаменником

    Це функція виду u ^ (m / n). Очевидно, що подкоренное вираження не може бути негативним, отже, потрібно вирішити нерівність u ≥ 0.

    Приклад 1: у = √ (2 • х — 10).

    Рішення: складіть нерівність 2 • х — 10 ≥ 0 → х ≥ 5. Область визначення — інтервал [5; + ∞). При х

  4. Логарифмічна функція виду log_a (u)

    В даному випадку нерівність буде суворим u> 0, оскільки вираз під знаком логарифма не може бути менше нуля.

    Приклад 2: у = log_3 (х — 9).

    Рішення: х — 9> 0 → х> 9 → (9; + ∞).


  5. Дріб виду u (х) / v (х)

    Очевидно, що знаменник дробу не може звертатися в нуль, значить, критичні точки можна знайти з рівності v (х) = 0.

    Приклад 3: у = 3 • х ² — 3 / (х ³ + 8).
    Рішення: х ³ + 8 = 0 → х ³ = -8 → х = -2 → (- ∞; -2) U (-2; + ∞).


  6. Тригонометричні функції tg u і ctg u

    Знайдіть обмеження з нерівності виду х ≠ π / 2 + π • k.

    Приклад 4: у = tg (х / 2).
    Рішення: х / 2 ≠ π / 2 + π • k → х ≠ π • (1 + 2 • k).


  7. Тригонометричні функції arcsin u і arcсos u

    Вирішити двостороннє нерівність -1 ≤ u ≤ 1.

    Приклад 5: у = arcsin 4 • х.
    Рішення: -1 ≤ 4 • х ≤ 1 → -1 / 4 ≤ х ≤ 1/4.


  8. Показово-статечні функції виду u (х) ^ v (х)

    Область визначення має обмеження у вигляді u> 0.

    Приклад 6: у = (х ³ + 125) ^ sinх.
    Рішення: х ³ + 125> 0 → х> -5 → (-5; + ∞).


  9. Присутність у функції відразу двох або більше з наведених висловів передбачає накладення більш строгих обмежень, що враховують всі складові. Знаходити їх потрібно окремо, а потім об’єднати в один інтервал.