Як знайти об’єм усіченої піраміди


 

Однією з особливостей стереометрії є можливість підходити до вирішення завдань з різних сторін. Проаналізувавши відомі дані, ви зможете вибрати найбільш зручний метод обчислення обсягу усіченої піраміди.



Інструкція

  1. Поняття усіченої піраміди

    Пірамідою називається многогранник, підставою якого служить багатокутник з довільною кількістю сторін, а бічними гранями — трикутники із загальною вершиною. Усічена піраміда являє собою фрагмент піраміди між її основою і паралельним йому перетином, бічні грані в ній мають форму трапеції.


  2. Спосіб перший

    Скористайтеся формулою: V = 1/3h ∙ (S1 + S2 + √ S1 + S2), де h-висота усіченої піраміди, S1 — площа підстави, а S2 — площа верхньої межі (перерізу, що утворює цю фігуру). Розрахунок базується на теоремі, яка говорить, що обсяг усіченої піраміди дорівнює однієї третьої твори висоти на суму площ підстав і середнього арифметичного між ними. Доказ можна зробити як для тригранної піраміди (тетраедра), так і для багатогранника з будь-яким іншим підставою.


  3. Спосіб другий

    Іноді для вирішення завдання на обсяг усіченої піраміди зручніше добудувати її до повної, а потім обчислити шукане як різниця обсягів двох многогранників. Скориставшись загальною формулою обчислення обсягу піраміди V = 1/3 h ∙ S, де S — площа підстави піраміди, обчисліть спочатку обсяг повної піраміди, а потім — її відсіченої частини.


  4. Спосіб третій

    Обчисліть об’єм усіченої піраміди, скориставшись поняттям подоби фігур. Повна і освічена вище січної площини (відтята) піраміди є подібними, так само як і підстави усіченої піраміди являють собою подібні багатокутники. Загальне правило для подібних об’ємних фігур звучить так: відношення обсягів подібних багатогранників дорівнює коефіцієнту подібності, зведеному в третій ступінь. Тобто якщо відомий коефіцієнт подібності, можна скористатися формулою: V1/V2 = k3. Оперуючи відомими за умовами задачі даними, підставте загальну формулу обсягу піраміди V = 1/3 h ∙ S.