Як знайти площу фігури обмеженою лініями


 

Геометричний сенс певного інтеграла — площа криволінійної трапеції. Щоб знайти площу фігури, обмеженої лініями, застосовується одна з властивостей інтеграла, яке полягає в адитивності площ, інтегровних на одному і тому ж відрізку функцій.



Інструкція

  1. За визначенням інтеграла, він дорівнює площі криволінійної трапеції, обмеженої графіком заданої функції. Коли потрібно знайти площу фігури, обмеженої лініями, мова йде про криві, заданих на графіку двома функціями f1 (x) і f2 (x).
        
  2. Нехай на деякому інтервалі [a, b] задані дві функції, які визначені і неперервні. Причому одна з функцій графіку розташована вище іншої. Таким чином, утворюється візуальна фігура, обмежена лініями функцій і прямими x = a, x = b.
        
  3. Тоді площа фігури можна виразити формулою, що інтегрує різниця функцій на інтервалі [a, b]. Обчислення інтеграла проводиться за законом Ньютона-Лейбніца, згідно з яким результат дорівнює різниці первісної функції від граничних значень інтервалу.
        
  4. Приклад 1.
    Знайти площу фігури, обмеженої прямими лініями y = -1 / 3 · x — ½, x = 1, x = 4 і параболою y =-x ² + 6 · x — 5.
        
  5. Рішення.
    Побудуйте графіки всіх ліній. Ви можете побачити, що лінія параболи знаходиться вище прямої y = -1 / 3 · x — ½. Отже, під знаком інтеграла в даному випадку повинна стояти різниця між рівнянням параболи і заданої прямої. Інтервал інтегрування, відповідно, знаходиться між точками x = 1 і x = 4:
    S = ∫ (-x ² + 6 · x — 5 — (-1 / 3 · x — 1/2)) dx = (-x ² +19 / 3 · x — 9/2) dx на відрізку [1, 4] .
        
  6. Знайдіть первісну для отриманого подинтегрального вирази:
    F (-x ² + 19/3x — 9/2) = -1/3x ³ + 19/6x ² — 9/2x.
        
  7. Підставте значення кінців відрізка:
    S = (-1 / 3.4 ³ + 19/6 · 4 ² — 9/2 · 4) — (-1 / 3.1 ³ + 19/6 · 1 ² — 9/2 · 1) = 13.
        
  8. Приклад 2.
    Обчисліть площу фігури, обмеженої лініями y = √ (x + 2), y = x та прямої x = 7.
        
  9. Рішення.
    Ця задача є більш складною у порівнянні з попередньою, оскільки в ній немає другої прямої, паралельної осі абсцис. Це означає, що друге граничне значення інтеграла невизначено. Отже, його потрібно знайти з графіка. Побудуйте задані лінії.
        
  10. Ви побачите, то пряма лінія y = x проходить діагонально щодо координатних осей. А графік функції кореня — це позитивна половина параболи. Очевидно, що лінії на графіку перетинаються, тому точка перетину і буде нижньою межею інтегрування.
        
  11. Знайдіть точку перетину, вирішивши рівняння:
    x = √ (x + 2) → x ² = x + 2 [x ≥ -2] → x ² — x — 2 = 0.
        
  12. Визначте корені квадратного рівняння за допомогою дискриминанта:
    D = 9 → x1 = 2; x2 = -1.
        
  13. Очевидно, що значення -1 не підходить, оскільки абсциса струми перетину — позитивна величина. Отже, другий межа інтегрування x = 2. Функція y = x на графіку вище функції y = √ (x + 2), тому в інтегралі вона буде першою.
    Проінтегріруйте вийшло вираз на інтервалі [2, 7] і знайдіть площу фігури:
    S = ∫ (x — √ (x + 2)) dx = (x ² / 2 — 2/3 · (x + 2) ^ (3/2)).
        
  14. Підставте інтервальні значення:
    S = (7 ² / 2 — 2/3 · 9 ^ (3/2)) — (2 ² / 2 — 2/3 · 4 ^ (3/2)) = 59/6.