Як знайти площу криволінійної трапеції


 

Криволінійна трапеція являє собою фігуру, обмежену графіком неотрицательной і безперервного функції f на проміжку [a; b], віссю OX і прямими x = a і x = b. Для обчислення її площі використовуйте формулу: S = F (b)-F (a), де F — первообразная для f.



Вам знадобиться

— олівець;
- Ручка;
- Лінійка.

Інструкція

  1. Вам необхідно визначити площу криволінійної трапеції, обмеженої графіком функції f (x). Знайдіть первісну F для заданої функції f. Побудуйте криволінійну трапецію.
  2. Знайдіть декілька контрольних точок для функції f, обчисліть координати перетину графіка даної функції з віссю OX, якщо вони є. Зобразіть графічно інші задані лінії. Заштрихуйте шукану фігуру. Знайдіть x = a і x = b. Обчисліть площу криволінійної трапеції, використовуючи формулу S = F (b)-F (a).
         
  3. Приклад I. Визначте площу криволінійної трапеції, обмеженої лінією y = 3x-x ². Знайдіть первісну для функції y = 3x-x ². Це буде F (x) = 3/2x ² -1/3x ³. Функція y = 3x-x ² являє собою параболу. Її гілки спрямовані вниз. Знайдіть точки перетину даної кривої з віссю OX.
  4. З рівняння: 3x-x ² = 0, випливає, що x = 0 і x = 3. Шукані точки — (0, 0) і (0, 3). Отже, a = 0, b = 3. Знайдіть ще кілька контрольних точок і покажіть графік даної функції. Обчисліть площу заданої фігури за формулою: S = F (b)-F (a) = F (3)-F (0) = 27/2-27/3-0 +0 = 13,5-9 = 4,5 .
  5. Приклад II. Визначте площу фігури, обмеженої лініями: y = x ² і y = 4x. Знайдіть первісні для даних функцій. Це буде F (x) = 1/3x ³ для функції y = x ² і G (x) = 2x ² для функції y = 4x. За допомогою системи рівнянь знайдіть координати точок перетинань параболи y = x ² і лінійної функції y = 4x. Таких точок дві: (0; 0) і (4; 16).
         
  6. Знайдіть контрольні точки і зобразіть графіки заданих функцій. Легко помітити, що шукана площа дорівнює різниці двох фігур: трикутника, утвореного прямими y = 4x, y = 0, x = 0 і x = 16 і криволінійної трапеції, обмеженої лініями y = x ², y = 0, x = 0 і x = 16.
  7. Обчисліть площі даних фігур за формулою: S ¹ = G (b)-G (a) = G (4)-G (0) = 32-0 = 32 і S ² = F (b)-F (a) = F (4 )-F (0) = 64/3-0 = 64/3. Отже, площа шуканої фігури S дорівнює S ¹-S ² = 32-64/3 = 32/3.