Як знайти площу паралелограма, якщо відомі тільки його боку


 

Паралелограм вважається певним, якщо задані одне з його підстав і бічна сторона, а також кут між ними. Задачу можна вирішити і методами векторної алгебри (тоді не буде потрібно навіть креслення). При цьому основу і бічну сторону необхідно задати векторами і використовувати геометричну інтерпретацію векторного твори. Якщо ж задані лише довжини сторін — завдання не має однозначного вирішення.



Вам знадобиться

— папір;
- Ручка;
- Лінійка.

Інструкція


  1. Як знайти площу паралелограма, якщо відомі тільки його боку

                            1-й спосіб (геометричний).
    Дано: паралелограм АВСD задано довжиною підстави AD = | a |, довжиною бічної сторони AB = | b | і кутом між ними ф (рис. 1). Як відомо, площа паралелограма визначається виразом S = | a | h, причому з трикутника ABF: h = BF = ABsinф = | b | sinф. Отже, S = | a | | b | sinф.

    Приклад 1. Нехай AD = | a | = 8, AB = | b | = 4, ф = п / 6. Тоді S = 8 * 4 * sin (1/2) = 16 кв. од.
        



  2. Як знайти площу паралелограма, якщо відомі тільки його боку

                            2-й спосіб (векторний).
    Векторне твір визначається як вектор ортогональний членам свого твору і чисто геометрично (чисельно) збігається з площею паралелограма, побудованого на його складових.

    Дано: паралелограм заданий векторами двох його сторін a і b відповідно до рис. 1. Для збігу даних з прикладом 1 — нехай в координатах a (8, 0) і b (2sqrt (3, 2)).

    Для обчислення векторного добутку в координатній формі, використовується вектор-визначник (див. рис.2).


  3. Враховуючи, що a (8,0,0), b (2sqrt (3,2), 0,0), тому що вісь 0z «дивиться» прямо на нас з площини малюнка, а самі вектори лежать в площині 0xy.

    Для того щоб не помилятися зайвий раз, перепишіть результат у вигляді:
    n = {nx, ny, nz} = i (aybz-azby) + j (azbx-axbz) + k (axby-aybx);
    і в координатах:
    {Nx, ny, nz} = {(aybz-azby), (azbx-axbz), (axby-aybx)}.

    Більш того, щоб не плутатися з чисельними прикладами, випишіть все окремо.
    nx = aybz-azby, ny = azbx-axbz, nz = axby-aybx.

    Підставивши наявні в умові значення, отримаєте: nx = 0, ny = 0, nz = 16. В даному випадку S = | nz | = 16 од. кв.