Як знайти площу перерізу


 

Безліч завдань в геометрії засновані на визначенні площі перетину геометричного тіла. Одним з найбільш зустрічаються геометричних тіл є куля, та визначення площі його перерізу може підготувати до вирішення завдань різних рівнів складності.


Інструкція

  1. Перш ніж вирішувати задачу по знаходженню площі перетину, точно уявіть шукане геометричне тіло, а також додаткові до нього побудови. Для цього зробіть наочний креслення кулі і побудуйте січну площу.
        
  2. Проставте на кресленні умовні параметри, які позначають радіус кулі (R), відстань між січною площиною і центром кулі (k), радіус січної площі (r) і шукану площу перерізу (S).
  3. Визначте межі розташування площі перерізу як значення, що знаходиться в межах від 0 до πR ^ 2. Даний інтервал зумовлений двома логічними висновками.

    — Якщо відстань k дорівнює радіусу січної площини, значить, площина може стосуватися кулі лише в одній точці і S дорівнює 0.
    - Якщо ж відстань k дорівнює 0, тоді центр площині співпадає з центром кулі, а радіус площині — з радіусом R. Тоді S знаходять за формулою для обчислення площі круга πR ^ 2.
        

  4. Приймаючи як факт, що фігурою перетину кулі завжди є коло, зведіть завдання до знаходження площі цього кола, а точніше до знаходження радіуса кола перерізу. Для цього уявіть, що всі крапки на колі — це вершини прямокутного трикутника. В результаті R — це гіпотенуза, r — один з катетів. Другим катетом стає відстань k — перпендикулярний відрізок, який з’єднує окружність перетину з центром кулі.
  5. Враховуючи, що інші сторони трикутника — катет k і гіпотенуза R — вже задані, скористайтеся теоремою Піфагора. Довжина катета r дорівнює квадратному кореню з виразу (R ^ 2 — k ^ 2).
  6. Підставте знайдене значення r в формулу для обчислення площі круга πR ^ 2. Таким чином, площа перерізу S визначається за формулою π (R ^ 2 — k ^ 2). Ця формула буде вірною і для граничних точок розташування площі, коли k = R або k = 0. При підстановці цих значень площа перерізу S дорівнює або 0, або площі кола з радіусом кулі R.