Як знайти площу трапеції по вписаного кола


 

Якщо діаметр вписаного у трапецію кола — єдино відома величина, то задача знаходження площі трапеції має безліч рішень. Результат залежить від величини кутів між підставою трапеції і її бічними сторонами.



Інструкція

  1. Якщо в трапецію можна вписати окружність, то в такий трапеції сума бічних сторін дорівнює сумі підстав. Відомо, що площа трапеції дорівнює добутку напівсума підстав на висоту. Очевидно, що діаметр вписаного у трапецію кола є висотою даної трапеції. Тоді площа трапеції дорівнює добутку напівсума бічних сторін на діаметр вписаного кола.
  2. Діаметр кола дорівнює двом радіусів, а радіус вписаного кола — величина відома. Інших даних в умові завдання немає.
      
  3. Накресліть квадрат і впишіть в нього коло. Очевидно, що діаметр вписаного кола дорівнює стороні квадрата. Тепер уявіть, що дві протилежні сторони квадрата раптом втратили стійкість і почали хилитися до вертикальної осі симетрії фігури. Таке хитання можливе лише при збільшенні розміру сторони чотирикутника, описаного навколо кола.
  4. Якщо дві залишилися боку колишнього квадрата зберегли паралельність, чотирикутник перетворився на трапецію. Коло стає вписаною в трапецію, діаметр кола одночасно стає висотою цієї трапеції, а сторони трапеції придбали різні розміри.
  5. Бічні сторони трапеції можуть розповзатися і далі. Точка дотику буде переміщатися по колу. Сторони трапеції в своєму хитанні підпорядковуються лише одному рівності: сума бічних сторін дорівнює сумі підстав.
      
  6. Внести визначеність в утворений хитаються сторонами геометричний безлад можна, якщо знати кути нахилу бічних сторін трапеції до основи. Позначте ці кути α і β. Тоді після нескладних перетворень площа трапеції можна виразити такою формулою:
    S = D (Sinα + Sinβ) / 2SinαSinβ
    де S — площа трапеції
           D — діаметр вписаного у трапецію кола
           α і β — кути між бічними сторонами трапеції та її основою.