Як знайти площу трикутника, якщо відомо три сторони


 

Трикутник — одна з найпоширеніших і досліджуваних геометричних фігур. Саме тому існує безліч теорем і формул на знаходження його числових характеристик. Знайти площу довільного трикутника, якщо відомо три сторони, можна за формулою Герона.



Інструкція

  1. Формула Герона — справжня знахідка при вирішенні математичних завдань, адже вона допомагає знайти площу будь-якого довільного трикутника (крім виродженого), якщо відомі його боку. Цей давньогрецький математик цікавився трикутної фігурою виключно з цілочисельними вимірами, площа яких становить також ціле число, однак це не заважає сьогоднішнім вченим, а також школярам і студентам застосовувати її для будь-яких інших.
  2. Для того, щоб скористатися формулою, необхідно знати ще одну числову характеристику — периметр, а точніше, півпериметр трикутника. Він дорівнює напівсумі довжин усіх його сторін. Це потрібно для того, щоб трохи спростити вираз, що є досить громіздким:

    S = 1/4 • √ ((АВ + НД + AC) • (НД + AC — АВ) • (АВ + AC — НД) • (АВ + НД — AC))
    р = (АВ + НД + AC) / 2 — півпериметр;
    S = √ (р • (р — АВ) • (р — НД) • (р — AC)).


  3. Рівність усіх сторін трикутника, який в цьому випадку називається правильним, перетворює формулу в просте вираз:

    S = √ 3 • а ² / 4.


  4. Рівнобедрений трикутник характеризується однаковою довжиною двох з трьох сторін АВ = НД і, відповідно, прилеглих кутів. Тоді формула Герона перетвориться в такий вираз:

    S = 1/2 • AC • √ ((АВ + 1/2 • AC) • (AC — 1/2 • АВ)) = 1/2 • AC • √ (АВ ² — 1/4 • AC ²) , де AC — довжина третьої сторони.


  5. Визначити площу трикутника за трьома сторонами можна не тільки за допомогою Герона. Наприклад, нехай у трикутник вписана коло радіуса r. Це означає, що вона стосується всіх його сторін, довжини яких відомі. Тоді площа трикутника можна знайти за формулою, теж пов’язаної з півпериметр і полягає в простому творі його на радіус вписаного кола:

    S = 1/2 • (АВ + НД + AC) = р • r.


  6. Приклад на застосування формули Герона: нехай задано трикутник зі сторонами а = 5; b = 7 і з = 10. Знайдіть площу.
  7. Рішення

    Обчисліть півпериметр:

    р = (5 + 7 + 10) = 11.


  8. Розрахуйте шукану величину:

    S = √ (11 • (11-5) • (11-7) • (11-10)) ≈ 16,2.