Як знайти похідну функції


 

Методи диференціального обчислення використовуються при дослідженні характеру поведінки функції в математичному аналізі. Однак це не єдина сфера їх застосування, часто потрібно знайти похідну, щоб розрахувати граничні величини в економіці, обчислити швидкість або прискорення у фізиці.



Інструкція

  1. Похідна функції в точці показує швидкість її зміни і обчислюється через теорію меж. Тому вона може мати як кінцеве, так і нескінченне значення. У другому випадку говорять, що вихідна функція не дифференцируема в цій точці. Існують правила, за якими можна знайти похідну найпростішої, елементарної та складної функції.
      
  2. Запам’ятайте таблицю обчислення похідних найпростіших і деяких елементарних функцій:

    — З ‘= 0;
    - Х ‘= 1;
    - (З • х) ‘= С • х’ = С;
    - (Sin х) ‘= соs х; (соs х)’ = — sin х;
    - (Tv х) ‘= 1/соs ² х; (сtv х)’ = -1/sin ² х;
    - B ^ х = b ^ х • ln b;
    - Lоv_b х = 1 / (х • ln b).
      


  3. Застосовуйте загальні правила диференціювання.
    Похідна статечної функції виду х ^ n, де n> 1, дорівнює n • х ^ (n-1).
    Приклади: (х ^ 4) ‘= 4 • х ³; (5 • х ³)’ = 5 • 3 • х ² = 15 • х ².
  4. Похідна суми функцій знаходиться шляхом складання їх окремих похідних: (Σfi (х)) ‘= Σfi’ (х).
    Приклади: (sin х + соs х) ‘= соs х — sin х; (х ^ 5 + 6 • х ^ 4 — 2 • х ² + 14 • х)’ = 5 • х ^ 4 + 24 • х ³ — 4 • х + 14. При диференціюванні многочлена його ступінь зменшується на 1.
  5. Похідна твори, де обидва множника є функціями, дорівнює сумі двох елементів. У першому випадку це похідна першої функції і вихідне вираз другий, у другому випадку — навпаки: (f • v) ‘= f’ • v + f • v ‘.
    Приклад: (5 ^ х • lоv_5 х) ‘= (5 ^ х)’ • lоv_5 х + 5 ^ х • (lоv_5 х) ‘= 5 • х • ln 5 • lоv_5 х + 5 ^ х / (х • ln 5).
  6. Дріб, де чисельник і знаменник — функції, диференціюється за більш складною формулою: (f / v) ‘= (f’ • v — f • v ‘) / v ².
    Приклад: ((х • sin х) / (5 • х ² + 3)) «.
    Рішення.
    До цього виразу застосовні відразу два правила диференціювання: суми і твори функцій одного і того ж аргументу:
    ((Х • sin х) / (5 • х ² + 3)) ‘= ((х • sin х)’ • (5 • х ² + 3) — х • sin х • (5 • х ² + 3) ‘) / (5 • х ² + 3) ² =
    ((Sin х + х • соs х) • (5 • х ² + 3) — х • sin х • 10 • х) / (5 • х ² + 3) ².
      
  7. Розкрийте дужки і приведіть подібні:
    х • соs х — х • sin х • (5 • х — 3) / (5 • х ² + 3) ².
  8. Щоб знайти похідну складної функції виду f (v (х)), продіфференціруйте старшу функцію f, прийнявши v за простій аргумент. Потім помножте результат на похідну v ‘(х). Наприклад:
    (Tv (2 • х ² + 3)) ‘= (tv х)’ • (2 • х ² + 3) ‘= 1/соs ² (2 • х ² + 3) • 4 • х = 4 • х / соs ² (2 • х ² + 3).