При описі векторів в координатній формі використовується поняття радіус-вектора. Де б початково ні лежав вектор, все одно його початок буде збігатися з початком координат, а кінець буде позначений його координатами.
Інструкція
- Радіус-вектор прийнято записувати наступним чином: r = r (М) = x ∙ i + y ∙ j + z ∙ k. Тут (x, y, z) — декартові координати вектора. Не важко уявити ситуацію, коли вектор може змінюватися в залежності від будь-якого скалярного параметра, наприклад, часу t. У цьому випадку вектор можна описувати як функцію трьох аргументів, задану параметричними рівняннями x = x (t), y = y (t), z = z (t), що відповідає r = r (t) = x (t) ∙ i + y (t) ∙ j + z (t) ∙ k. При цьому лінія, яку в міру зміни параметра t описує в просторі кінець радіус-вектора називається годографом вектора, а саме співвідношення r = r (t) називають вектор-функцією (векторної функцією скалярного аргументу).
-
Отже, вектор-функція — це вектор, що залежить від параметра. Похідну вектор-функції (як і будь-якої функції, що подається у вигляді суми) можна записати в такій формі:
r ‘= dr / dt = r’ (t) = x ‘(t) ∙ i + y’ (t) ∙ j + z ‘(t) ∙ k. (1)
Похідна кожної з вхідних в (1) функцій визначається традиційно. Аналогічним чином йде справа і з r = r (t), де приріст Δr також вектор (див. рис. 1).
- В силу (1) можна прийти до висновку, що правила диференціювання вектор-функції повторюють правила диференціювання звичайних функцій. Так похідна суми (різниці) — є сума (різниця) похідних. При обчисленні похідної вектора на число, це число можна виносити за знак похідної. Для скалярного і векторного твори зберігається правило обчислення похідної твори функцій. Для векторного твори [r (t), g (t)] ‘= [r' (t), g (t)] + [r (t) g '(t)]. Залишається ще одне поняття — твори скалярной функції на векторну (тут правило диференціювання твори функцій зберігається).
-
Особливий інтерес представляє собою вектор-функція довжини дуги s, по якій переміщається кінець вектора, відлічуваний від деякої початкової точки Мо. Це r = r (s) = u (s) ∙ i + v (s) ∙ j + w (s) ∙ k (див. рис. 2).За допомогою рис. 2 постарайтеся з’ясувати геометричний зміст похідної dr / ds.
- Відрізок АВ, на якому лежить Δr, є хордою дуги. При цьому її довжина дорівнює Δs. Очевидно, що відношення довжини дуги до довжини хорди прагне до одиниці при Δr, що прагнуть до нуля.
Δr = r ∙ (s + Δs)-r (s), | Δr | = | AB |. Тому | Δr / Δs | і в межі (при Δs прагнуть до нуля) дорівнює одиниці. Отримана при цьому похідна спрямована по дотичній до кривої dr / ds = & sigma — одиничний вектор. Отже, можна записати і другу похідну (d ^ 2) r / (ds) ^ 2 = (d / ds) [dr / ds] = d & sigma / ds.
