Як знайти похідну від дробу


 

Поява диференціального обчислення викликано необхідністю вирішувати конкретні фізичні задачі. Передбачається, що людина, що володіє диференціальним численням, вміє брати похідні від різних функцій. Чи вмієте ви брати похідну від функції, вираженої дробом?


Інструкція

  1. Будь дріб має чисельник і знаменник. В процесі знаходження похідної від дробу потрібно знаходити окремо похідну чисельника і похідну знаменника.
  2. Щоб знайти похідну від дробу, похідну чисельника домножьте на знаменник. Відніміть з отриманого виразу похідну знаменника, помножену на чисельник. Результат розділіть на знаменник в квадраті.
  3. Приклад 1

    [sin (x) / cos (x)] ‘= [sin' (x) · cos (x) - cos '(x) · sin (x)] / cos ² (x) = [cos (x) · cos (x) + sin (x) · sin (x)] / cos ² (x) = [cos ² (x) + sin ² (x)] / cos ² (x) = 1 / cos ² (x).

  4. Отриманий результат є нічим іншим, як табличним значенням похідної функції тангенса. Воно й зрозуміло, адже ставлення синуса до косинусу і є, за визначенням, тангенс. Отже,

    tg ‘(x) = [sin (x) / cos (x)]‘ = 1 / cos ² (x).

  5. Приклад 2

    [(x ² - 1) / 6x] ‘= [(2x · 6x - 6 · x ²) / 6 ²] = [12x ² - 6x ²] / 36 = 6x ² / 36 = x ² / 6.

  6. Окремим випадком дробу є така дріб, у якої в знаменнику одиниця. Знайти похідну від такого виду дробу простіше: достатньо уявити її у вигляді знаменника зі ступенем (-1).
  7. Приклад

    (1 / x) ‘= [x ^ (-1)]‘ = -1 · x ^ (-2) = -1 / x ².

Зверніть увагу

Дріб може містити в своєму складі ще кілька дробів. У такому разі зручніше знаходити спочатку окремо похідні «первинних» дробів.

Корисні поради

Коли ви шукайте похідні знаменника і чисельника, застосовуйте правила диференціювання: суми, твори, складних функцій. Корисно пам’ятати похідні найпростіших табличних функцій: лінійної, показовою, степеневої, логарифмічної, тригонометричних і т.д.