Як знайти проміжки зростання та спадання функції


 

Визначення проміжків зростання та спадання функції — це один з основних аспектів дослідження поведінки функції поряд із знаходженням точок екстремумів, в яких відбувається перелом від зменшення до зростання і навпаки.


Інструкція

  1. Функція y = F (x) є зростаючою на певному інтервалі, якщо для будь-яких точок x1 F (x2), де x1 завжди> x2 для будь-яких точок на інтервалі.
        
  2. Існують достатні ознаки зростання та спадання функції, які випливають з результату обчислення похідної. Якщо похідна функції позитивна для будь-якої точки інтервалу, то функція зростає, якщо негативна — убуває.
        
  3. Щоб знайти проміжки зростання та спадання функції, потрібно знайти область її визначення, обчислити похідну, вирішити нерівності виду F ‘(x)> 0 і F’ (x)
  4. Розглянемо приклад.
    Знайти проміжки зростання та спадання функції для y = (3 · x ² + 2 · x — 4) / x ².
        
  5. Рішення.
    1. Знайдемо область визначення функції. Очевидно, що вираз, що стоїть в знаменнику, має завжди бути відмінним від нуля. Тому точка 0 виключається з області визначення: функція визначена при x ∈ (- ∞; 0) ∪ (0; + ∞).
        
  6. 2. Обчислимо похідну функції:
    y ‘(x) = ((3 · x ² + 2 · x — 4)’ · x ² — (3 · x ² + 2 · x — 4) · (x ²) ‘) / x ^ 4 = ((6 · x + 2) · x ² — (3 · x ² + 2 · x — 4) · 2 · x) / x ^ 4 = (6 · x ³ + 2 · x ² — 6 · x ³ — 4 · x ² + 8 · x) / x ^ 4 = (8 · x — 2 · x ²) / x ^ 4 = 2 · (4 — x) / x ³.
        
  7. 3. Вирішимо нерівності y ‘> 0 і y’
    (4 — x) / x ³> 0;
    (4 — x) / x ³

  8. 4. Ліва частина нерівності має один дійсний корінь х = 4 і звертається в нескінченність при x = 0. Тому значення x = 4 включається і в проміжок зростання функції, і в проміжок убування, а точка 0 не включається нікуди.
    Отже, шукана функція зростає на проміжку x ∈ (- ∞; 0) ∪ [2; + ∞) і зменшується при x (0; 2].