Як знайти проміжне значення


 

Для визначення невідомих проміжних значень якої-небудь функції або табличних даних в обчислювальній математиці використовується апарат інтерполяції. Дискретний набір відомих параметрів може бути заданий аргументами x0, х1. . . xn і значеннями функції yj = f (xj) (де j = 0, 1, …, n). У простому окремому випадку завдання пошуку проміжних значень зазначеного ряду може бути вирішена за допомогою проведення лінійної інтерполяції.


Інструкція

  1. Суть лінійної інтерполяції можна описати таким припущенням: в проміжку між відомими сусідніми табличними значеннями аргументу xi і xj розглянуту функцію y = f (x) можна наближено вважати лінійною. Іншими словами, на цьому проміжку значення функції змінюється пропорційно зміні аргументу.

  2. Як знайти проміжне значення

                            Більш наочно дане припущення можна відобразити в графічному вигляді в декартовій системі координат. Розглянутий відрізок функції уi і уj представляється безперервної прямої з відомими координатами. При пошуку проміжного значення функції Y, невідомий аргумент Х знаходиться між сусідніх значень хi і xj. Таким чином, можна записати наступні нерівності хi

  3. Висловіть записані умови у вигляді пропорції такого вигляду: (yj — yi) / (хj — хi) = (Y — yi) / (Х — хi). Тут yj і хj — кінцеві значення, yi, хi — початкові значення відрізка, Y і Х — шукані проміжні значення.
  4. Як видно з пропорції при заданому прирості аргументу Х — хi легко знайти відповідну зміну функції Y — yi. Висловіть прирощення: Y — yi = ((yj — yi) / (хj — хi)) * (Х — хi).
  5. Таким чином, проміжні значення функції можна визначити, знаючи лише приріст, на яке відбулася зміна аргументу. Обчисліть різниці yj — yi і хj — хi при заданому кроці аргументу Х — хi. Підставляючи отримані значення в формулу збільшення, знайдіть показник зміни функції.
  6. Знайдіть проміжне значення Y. Для цього до отриманого значення приросту додайте початковий показник функції уi на даному відрізку. Аналогічним чином знаходиться будь проміжне значення із заданим кроком збільшення.
  7. Якщо стоїть завдання у визначенні аргументу X по заданим значенням функції y = f (x), проводиться зворотна лінійна інтерполяція. Її суть полягає в знаходженні значення X з допомогою тієї ж пропорції, тільки тепер в якості відомого параметра виступає приріст функції Y — уi. За допомогою аналогічних перетворень перебуває невідоме проміжне значення аргументу Х = ((yj — yi) / (хj — хi)) / (Y — уi) + хi.