Як знайти рівняння перпендикулярної прямої


 

В декартовій системі координат всяка пряма може бути записана у вигляді лінійного рівняння. Розрізняють загальний, канонічний і параметричний способи завдання прямий, кожен з яких передбачає свої умови перпендикулярності.


Інструкція

  1. Нехай дві прямі у просторі задані канонічними рівняннями:

    (x-x1) / q1 = (y-y1) / w1 = (z-z1) / e1;

    (x-x2) / q2 = (y-y2) / w2 = (z-z2) / e2.

  2. Числа q, w і e, представлені в знаменниках, є координатами напрямних векторів до цих прямим. Напрямних називають такий ненульовий вектор, який лежить на даній прямій або паралельний їй.
  3. Косинус кута між прямими має формулу:

    cosλ = ± (q1 · q2 + w1 · w2 + e1 · e2) / √ [(q1) ² + (w1) ² + (e1) ²] · [(q2) ² + (w2) ² + ( e2) ²].

  4. Прямі, задані канонічними рівняннями, взаємно перпендикулярні тоді і тільки тоді, коли їх направляючі вектори ортогональні. Тобто, кут між прямими (він же — кут між напрямними векторами) дорівнює 90 °. Косинус кута в цьому випадку звертається в нуль. Оскільки косинус виражений дробом, то його рівність нулю еквівалентно нульового знаменника. У координатах це запишеться так:

    q1 · q2 + w1 · w2 + e1 · e2 = 0.

  5. Для прямих на площині ланцюжок міркувань виглядає аналогічно, але умова перпендикулярності запишеться трохи більше спрощено: q1 · q2 + w1 · w2 = 0, тому третя координата відсутня.
  6. Нехай тепер прямі задані загальними рівняннями:

    J1 · x + K1 · y + L1 · z = 0;

    J2 · x + K2 · y + L2 · z = 0.

  7. Тут коефіцієнти J, K, L — це координати нормальних векторів. Нормаль — це одиничний вектор, перпендикулярний до прямої.
  8. Косинус кута між прямими тепер запишеться в такому вигляді:

    cosλ = (J1 · J2 + K1 · K2 + L1 · L2) / √ [(J1) ² + (K1) ² + (L1) ²] · [(J2) ² + (K2) ² + (L2 ) ²].

  9. Прямі взаємно перпендикулярні в тому випадку, якщо нормальні вектори ортогональні. В векторному вигляді, відповідно, ця умова виглядає так:

    J1 · J2 + K1 · K2 + L1 · L2 = 0.

  10. Прямі на площині, задані загальними рівняннями, перпендикулярні, коли J1 · J2 + K1 · K2 = 0.

Корисні поради

Маючи рівняння деякої прямої, знайдіть рівняння прямої, яка їй перпендикулярна, використовуючи викладені вище властивості.