Як знайти рівняння площини піраміди


 

Можливо, що й існує спеціальне поняття площині піраміди, але автору воно невідомо. Оскільки піраміда відноситься до просторових багатогранника, площини утворити можуть лише грані піраміди. Саме вони і будуть розглянуті.



Інструкція

  1. Найпростіше завдання піраміди — це подання її координатами точок вершин. Можна використовувати й інші вистави, які без праці переводяться як один в одного, так і в запропоноване. Для простоти розгляньте трикутну піраміду. Тоді в просторовому випадку поняття «підставу» стає досить умовним. Тому відрізняти його від бічних граней не слід. При довільній піраміді її бічні грані все одно трикутники, а для складання рівняння площини підстави все одно вистачить трьох точок.

  2. Як знайти рівняння площини піраміди

                  Кожна грань трикутної піраміди повністю визначається трьома точками вершин відповідного трикутника. Нехай це М1 (x1, y1, z1), М2 (x2, y2, z2), М3 (x3, y3, z3). Для знаходження рівняння площини, яка містить цю грань, використовуйте загальне рівняння площини у вигляді A (x-x0) + B (y-y0) + C (z-z0) = 0. Тут (x0, y0, z0) — довільна точка площини, в якості якої використовуйте одну з трьох заданих на даний момент, наприклад М1 (x1, y1, z1). Коефіцієнти A, B, C утворюють координати вектора нормалі до площини n = {A, B, C}. Щоб знайти нормаль, можна використовувати координати вектора, рівного векторному добутку [М1, М2] (див. рис. 1). Їх і візьміть рівними A, BC відповідно. Залишилося знайти скалярний добуток векторів (n, M1M) в координатній формі і прирівняти його нулю. Тут М (x, y, z) — довільна (поточна) точка площині.
      

  3. Як знайти рівняння площини піраміди

                  Отриманий алгоритм побудови рівняння площини по трьом її точкам можна зробити більш зручним для застосування. Зверніть увагу, що знайдена методика передбачає обчислення векторного твори, а потім скалярного. Це не що інше, як змішане твір векторів. У компактній формі воно дорівнює визначнику, рядки якого складаються з координат векторів М1М = {x-x1, y-y1, z-z1}, M1M2 = {x2-x1, y2-y1, z2-z1}, M1М3 = {x3- x1, y3-y1, z3-z1}. Прирівняти його нулю та отримайте рівняння площини у вигляді визначника (див. рис. 2). Після його розкриття прийдете до загального рівняння площини.