Як знайти середнє квадратичне відхилення


 

В теорії ймовірностей для визначення точності отриманої дійсної величини застосовують метод аналізу результатів серії вимірювань, званої вибіркою. При цьому виникають різного роду похибки, які потрібно знайти, наприклад, середнє квадратичне відхилення.


Інструкція

  1. Середнє квадратичне або, по-іншому, середньоквадратичне відхилення є однією з найпоширеніших стандартних величин для статистичного аналізу. Її розрахунок застосовують для того, щоб визначити міру точності ймовірнісної оцінки деякої події або величини.
      
  2. Вибірка — це безліч значень аналізованої випадкової величини, які є вибірковими результатами серії однорідних вимірів. Жоден експеримент не обходиться без похибок, які в даному випадку характеризуються розкидом елементів вибірки навколо деякого середнього значення, рівного середньому арифметичному:

    хср = Σхi / n.
      

  3. У випадку, якщо потрібна вища точність оцінки, використовують поняття зваженого середнього квадратичного відхилення, тоді середнє значення розраховується за допомогою введення ймовірностей або ваг елементів вибірки:

    xср = Σpi • xi / Σpi.
      

  4. Щоб знайти середнє квадратичне відхилення, можна скористатися класичною формулою:

    σ = √ (Σ (xi — xср) ² / (n — 1)), де n — обсяг вибірки.
      

  5. Крім того, є дві додаткові формули, в одній з яких також передбачається пошук середнього значення, а в інший цього робити не потрібно:

    σ = √ ((Σxi ² — n • xср ²) / (n — 1));
    σ = √ ((Σxi ² — ((Σxi) ² / n) / (n — 1)).
      

  6. Те, яку з цих трьох формул вибрати, залежить від вихідних даних задачі. Найлегше перетворити їх в табличний вигляд, це збільшить швидкість рішення і зробить його більш наочним.
      
  7. Щоб знайти середнє квадратичне відхилення, в першому стовпці перерахуйте елементи вибірки, у другому — їх квадрати. Визначте середнє арифметичне і заповніть третій стовпець, вписавши відповідні різниці xi — xср. У четвертому стовпці запишіть те ж число, зведена в квадрат, підсумуйте значення стовпця і розділіть вийшла величину на обсяг вибірки, зменшений на 1.
      
  8. У разі середнього зваженого відхилення завдання трохи ускладнюється. Перший і другий стовпці залишаються незмінними, в третій впишіть ймовірно, підсумуйте. Четверта колонка буде містити твір елементів на їх ваги, підсумуйте і розділіть результат на підсумкову величину другого стовпця. Так ви знайдете середнє зважене.
      
  9. Додайте в п’ятому стовпці різниця по кожному елементу з вирахуванням середнього зваженого, у шостому — те ж саме зведіть в квадрат і порахуйте підсумкову суму. І, нарешті, розділіть її на n-1.
      
  10. Описані алгоритми застосовні для класичної формули, для двох інших послідовність дій дещо інша, проте принцип той самий — використання таблиць. Особливо це актуально, якщо вибірка надто велика. У цьому випадку скористайтеся комп’ютерною програмою, наприклад, Microsoft Excel.