Як знайти синус кута між векторами


 

Вектор в багатовимірному евклідовому просторі задається координатами своєї початкової точки і точки, що визначає його величину і напрям. Різниця між напрямками двох таких векторів визначається величиною кута. Часто в різного роду завданнях з області фізики і математики пропонується знайти не сам цей кут, а величину похідної від нього тригонометричної функції — синуса.


Інструкція

  1. Використовуйте для визначення синуса кута між двома векторами відомі формули скалярного множення векторів. Таких формул існує, як мінімум, дві. В одній з них в якості змінної задіяний косинус потрібного кута, дізнавшись який ви зможете обчислити і синус.
  2. Складіть рівність і виокремити з нього косинус. За однією формулою скалярний добуток векторів одно їх довжинам, перемножені один на одного і на косинус кута, а з іншої — сумі творів координат вздовж кожної з осей. Прирівнявши обидві формули можна зробити висновок, що косинус кута повинен бути рівний відношенню суми творів координат до твору довжин векторів.
  3. Запишіть отримане рівність. Для цього треба позначити координати обох векторів. Припустимо, вони дані в тривимірній декартовій системі і їх початкові точки перенесені на початок координатної сітки. Напрямок і величина першого вектора буде задана точкою (X ₁, Y ₁, Z ₁), другого — (X ₂, Y ₂, Z ₂), а кут позначте буквою γ. Тоді довжини кожного з векторів можна вирахувати, наприклад, по теоремі Піфагора для трикутників, утворених їх проекціями на кожну з координатних осей: √ (X ₁ ² + Y ₁ ² + Z ₁ ²) і √ (X ₂ ² + Y ₂ ² + Z ₂ ²). Підставте ці вирази в сформульовану на попередньому кроці формулу і ви отримаєте таке рівність: cos (γ) = (X ₁ * X ₂ + Y ₁ * Y ₂ + Z ₁ * Z ₂) / (√ (X ₁ ² + Y ₁ ² + Z ₁ ²) * √ (X ₂ ² + Y ₂ ² + Z ₂ ²)).
  4. Використовуйте той факт, що сума зведених в квадрат значень синуса і косинуса від кута однієї величини завжди дає одиницю. Значить, звівши отримане на попередньому кроці вираз для косинуса в квадрат і віднявши від одиниці, а потім знайди квадратний корінь, ви вирішите задачу. Запишіть потрібну формулу в загальному вигляді: sin (γ) = √ (1-cos (γ) ²) = √ (1 — ((X ₁ * X ₂ + Y ₁ * Y ₂ + Z ₁ * Z ₂) / (√ (X ₁ ² + Y ₁ ² + Z ₁ ² ) * √ (X ₂ ² + Y ₂ ² + Z ₂ ²)) ²) = √ (1 — ((X ₁ * X ₂ + Y ₁ * Y ₂ + Z ₁ * Z ₂) ² / ((X ₁ ² + Y ₁ ² + Z ₁ ²) * (X ₂ ² + Y ₂ ² + Z ₂ ²) )).