Будь диференціальне рівняння (ДУ), крім шуканої функції і аргументу містить в собі похідні цієї функції. Диференціювання та інтегрування є зворотними операціями. Тому процес вирішення (ДУ) часто називають його інтегруванням, а саме рішення — інтегралом. Невизначені інтеграли містять довільні константи, тому в ДУ також містяться константи, а саме рішення, визначене з точністю до констант, є спільним.
Інструкція
- Загальне рішення ДУ будь-якого порядку складати абсолютно немає чого. Воно утворюється само собою, якщо в процесі його отримання не використовувалися початкові або крайові умови. Інша справа, якщо певного рішення не було, і вони вибиралися за заданими алгоритмами, отриманим на основі теоретичних відомостей. Саме так і відбувається, якщо мова йде про лінійних ДУ з постійним коефіцієнтами n-го порядку.
-
Лінійне однорідне ДУ (ЛОДУ) n-го порядку має вигляд (див. рис. 1).Якщо його ліву частину позначити як лінійний диференціальний оператор L [y], то ЛОДУ перепишеться у вигляді L [y] = 0, і L [y] = f (x) — для лінійного неоднорідного диференціального рівняння (ЛНДУ).
- Якщо шукати рішення ЛОДУ у вигляді y = exp (k ∙ x), то y ‘= k ∙ exp (k ∙ x), y» = (k ^ 2) ∙ exp (k ∙ x), …, y ^ ( n-1) = (k ^ (n-1)) ∙ exp (k ∙ x), y ^ n = (k ^ n) ∙ exp (k ∙ x). Після скорочення на y = exp (k ∙ x), ви прийдете до рівняння: k ^ n + (a1) k ^ (n-1) + … + a (n-1) ∙ k + an = 0, званому характеристичним. Це звичайне алгебраїчне рівняння. Таким чином, якщо k — корінь характеристичного рівняння, то функція y = exp [k ∙ x] — рішення ЛОДУ.
- Алгебраїчне рівняння n-го ступеня має n коренів (з урахуванням кратних та комплексних). Кожному речовинному корені ki кратності «один» відповідає функція y = exp [(ki) x], тому, якщо всі вони дійсні і різні, то з урахуванням того, що будь-яка лінійна комбінація цих експонент теж є рішенням, можна скласти загальне рішення ЛОДУ:
y = C1 ∙ exp [(k1) ∙ x] + C2 ∙ exp [(k2) ∙ x] + … + Cn ∙ exp [(kn) ∙ x].
- У загальному випадку, серед рішень характеристичного рівняння можуть перебувати речові кратні і комплексно пов’язані коріння. При побудові спільного рішення у позначеній ситуації обмежтеся ЛОДУ другого порядку. Тут можливе отримання двох коренів характеристичного рівняння. Нехай це буде комплексно сполучена пара k1 = p + i ∙ q і k2 = pi ∙ q. Застосування експонент з такими показниками дасть комплексно-значні функції при вихідному рівнянні з дійсними коефіцієнтами. Тому їх перетворюють за формулою Ейлера і призводять до виду y1 = exp (p ∙ x) ∙ sin (q ∙ x) і y2 = exp (p ∙ x) cos (q ∙ x). Для випадку одного речового кореня кратності r = 2 використовують y1 = exp (p ∙ x) і y2 = x ∙ exp (p ∙ x).
- Остаточний алгоритм.
Потрібно скласти загальне рішення ЛОДУ другого порядку y» + a1 ∙ y ‘+ a2 ∙ y = 0.
Складіть характеристичне рівняння k ^ 2 + a1 ∙ k + a2 = 0.Якщо воно має дійсні корені k1 ≠ k2, то його загальний рішення виберіть у вигляді y = C1 ∙ exp [(k1) ∙ x] + C2 ∙ exp [(k2) ∙ x].
Якщо є один дійсний корінь k, кратності r = 2, то y = C1 ∙ exp [k ∙ x] + C2 ∙ x ∙ exp [k2 ∙ x] = exp [k ∙ x] (C1 + C2 ∙ x ∙ exp [k ∙ x]).
Якщо є комплексно сполучена пара коренів k1 = p + i ∙ q і k2 = pi ∙ q, то відповідь запишіть у вигляді y = C1 ∙ exp (p ∙ x) sin (q ∙ x) +
+ C2 ∙ exp (p ∙ x) cos (q ∙ x).
Зверніть увагу
Відомо, що спільне рішення ЛНДУ L [y] = f (x) дорівнює сумі загального рішення ЛОДУ і приватного рішення ЛНДУ. Так як приватна рішення знайдено, то викладену методику можна використовувати і для складання загального рішення ЛНДУ.
