Як знайти спільну множник


 

Для розв’язання рівнянь вищих порядків існує безліч способів. Іноді доцільно поєднувати їх, щоб добитися результату. Наприклад, при розкладанні на множники і угрупуванню часто використовують метод знаходження спільного множника групи двучленной і винесення його за дужки.


Інструкція

  1. Визначення загального множника многочлена потрібно при спрощення громіздких виразів, а також при вирішенні рівнянь вищих ступенів. Цей метод має сенс, якщо ступінь многочлена не нижче другої. При цьому загальним множником може бути не тільки двочлен першого ступеня, а й більш високих ступенів.
        
  2. Щоб знайти загальний множник доданків многочлена, необхідно виконати ряд перетворень. Найпростіший двочлен або одночлен, який можна винести за дужки, буде одним з коренів многочлена. Очевидно, що у випадку, коли многочлен не має вільного члена, буде невідоме в першій мірі — корінь многочлена, рівний 0.
  3. Більш складним для пошуку спільного множника є випадок, коли вільний член не дорівнює нулю. Тоді застосовні способи простого підбору або угруповання. Наприклад, нехай всі корені многочлена раціональні, при цьому всі коефіцієнти многочлена — цілі числа:
    y ^ 4 + 3 · y ³ — y ² — 9 · y — 18.
  4. Випишіть всі цілочисельні дільники вільного члена. Якщо у многочлена є раціональні корені, то вони знаходяться серед них. В результаті підбору виходять коріння 2 і -3. Значить, загальними множниками цього многочлена будуть двочлен (y — 2) та (y + 3).

  5. Як знайти спільну множник

                            Очевидно, що ступінь залишився многочлена при цьому знизиться з четвертої до другої. Щоб отримати його, проведіть поділ вихідного многочлена послідовно на (y — 2) та (y + 3). Виконується це подібно поділу чисел, в стовпчик.
  6. Метод винесення спільного множника є одним зі складових розкладання на множники. Описаний вище спосіб застосовний, якщо коефіцієнт при старшій ступеня дорівнює 1. Якщо це не так, то спочатку необхідно виконати ряд перетворень. Наприклад:
    2y ³ + 19 · y ² + 41 · y + 15.
  7. Виконайте заміну виду t = 2 ³ · y ³. Для цього помножте все коефіцієнти многочлена на 4:
    2 ³ · y ³ + 19.2 ² · y ² + 82.2 · y + 60. Після заміни: t ³ + 19 · t ² + 82 · t + 60. Тепер для пошуку спільного множника застосуємо вищеописаний спосіб.
  8. Крім того, ефективним методом пошуку спільного множника є угруповання елементів многочлена. Особливо він корисний, коли перший спосіб не працює, тобто у многочлена немає раціональних коренів. Однак реалізація угруповання не завжди буває очевидною. Наприклад:
    У многочлена y ^ 4 + 4 · y ³ — y ² — 8 · y — 2 немає цілих коренів.
  9. Скористайтеся угрупованням:
    y ^ 4 + 4 · y ³ — y ² — 8 · y — 2 = y ^ 4 + 4 · y ³ — 2 · y ² + y ² — 8 · y — 2 = (y ^ 4 — 2 · y ²) + (4 · y ³ — 8 · y) + y ² — 2 = (y ² — 2) * (y ² + 4 · y + 1).
    Загальний множник елементів цього многочлена (y ² — 2).