Як знайти точки перегину функції


 

Щоб знайти точки перегину функції, потрібно визначити, в яких місцях її графік змінює опуклість на увігнутість і навпаки. Алгоритм пошуку пов’язаний з обчисленням другої похідної і аналізом її поведінки в околиці деякої точки.


Інструкція

  1. Точки перегину функції повинні належати області її визначення, яку потрібно знайти в першу чергу. Графік функції — це лінія, яка може бути безперервною або мати розриви, монотонно спадати або зростати, мати мінімальні або максимальні точки (асимптоти), бути опуклою або увігнутою. Різка зміна двох останніх станів і називається перегином.
      
  2. Необхідна умова існування точок перегину функції полягає в рівності другої похідної нулю. Таким чином, двічі продифференцировав функцію і прирівнявши вийшло вираз нулю, можна знайти абсциси можливих точок перегину.
      
  3. Ця умова випливає з визначення властивостей опуклості і угнутості графіка функції, тобто негативного і позитивного значення другої похідної. У точці перегину відбувається різка зміна цих властивостей, значить, похідна переходить нульову позначку. Однак рівності нулю ще недостатньо для того, щоб позначити перегин.
      
  4. Існує два достатніх ознаки того, що знайдена на попередньому етапі абсциса належить точці перегину:

    Через цю точку можна провести дотичну до графіка функції. Друга похідна має різні знаки праворуч і ліворуч від передбачуваної точки перегину. Таким чином, її існування в самій точці необов’язково, достатньо визначити, що в ній вона змінює знак.
    Друга похідна функції дорівнює нулю, а третя — ні.
      

  5. Перше достатня умова є універсальним і застосовується частіше інших. Розглянемо ілюструє приклад: у = (3 • х + 3) • ∛ (х — 5).
      
  6. Рішення.
    Знайдіть область визначення. В даному випадку обмежень немає, отже, нею є весь простір дійсних чисел. Обчисліть першу похідну:
    у ‘= 3 • ∛ (х — 5) + (3 • х + 3) / ∛ (х — 5) ².
      
  7. Зверніть увагу на появу дробу. З нього випливає, що область визначення похідної обмежена. Точка х = 5 є виколоти, а значить, через неї може проходити дотична, що частково відповідає першому ознакою достатності перегину.
  8. Визначте односторонні межі для отриманого виразу при х → 5 — 0 і х → 5 + 0. Вони рівні — ∞ і + ∞.
    Ви довели, що через точку х = 5 проходить вертикальна дотична. Ця точка може виявитися точкою перегину, але спочатку обчисліть другу похідну:
    У» = 1 / ∛ (х — 5) ² + 3 / ∛ (х — 5) ² — 2/3 • (3 • х + 3) / ∛ (х — 5) ^ 5 = (2 • х — 22) / ∛ (х — 5) ^ 5.
      
  9. Опустіть знаменник, оскільки точку х = 5 ви вже врахували. Вирішити рівняння 2 • х — 22 = 0. Воно має єдиний корінь х = 11.
    Останній етап — підтвердження того, що точки х = 5 і х = 11 є точками перегину. Проаналізуйте поведінку другої похідної в їх околицях. Очевидно, що в точці х = 5 вона змінює знак з «+» на «-», а в точці х = 11 — навпаки. Висновок: обидві точки є точками перегину. Виконано перше достатня умова.