Як знайти вектор нормалі


 

Задача пошуку вектора нормалі прямої на площині і площини в просторі занадто проста. Фактично вона завершується записом загальних рівнянь прямої або площини. Оскільки крива на площині всього лише окремий випадок поверхні в просторі, то саме про нормаль до поверхні і піде мова.



Інструкція

  1. Перший спосіб

    Цей спосіб найпростіший, але для його розуміння потрібно знання поняття скалярного поля. Втім, і недосвідчений в цьому питанні читач зможе використовувати результуючі формули даного питання.
        


  2. Відомо, що скалярний поле f задається як f = f (x, y, z), а будь-яка поверхня при цьому — це поверхня рівня f (x, y, z) = C (C = const). Крім того, нормаль поверхні рівня збігається з градієнтом скалярного поля в заданій точці.
  3. Градієнтом скалярно поля (функції трьох змінних) називається вектор g = gradf = iдf / дx + jдf / Дy + kдf / дz = {дf / дx, дf / Дy, дf / дz}.
    Так як довжина нормалі значення не має, залишається лише записати відповідь. Нормаль до поверхні
    f (x, y, z)-C = 0 в точкеM0 (x0, y0, z0) n = gradf = iдf / дx + jдf / Дy + kдf / дz = {дf / дx, дf / Дy, дf / дz} .

  4. Як знайти вектор нормалі

                            Другий спосіб

    Нехай поверхня задана рівнянням F (x, y, z) = 0. Щоб можна було в подальшому провести аналогії з першим способом, слід враховувати, що похідна постійною дорівнює нулю, і F задається як f (x, y, z)-C = 0 (C = const). Якщо провести розтин цієї поверхні довільної площиною, то виникла просторову криву можна вважати годографом небудь вектор-функції r (t) = ix (t) x + jy (t) + kz (t). Тоді похідна вектора r ‘(t) = ix’ (t) + jy ‘(t) + kz’ (t) спрямована по дотичній в деякій точці M0 (x0, y0, z0) поверхні (див. рис.1).


  5. Щоб не виникло плутанини, поточні координати дотичної прямої слід позначити, наприклад, курсивом (x, y, z). Канонічні рівняння дотичній прямій, з урахуванням, що r ‘(t0) — напрямний вектор, записується як (xx (t0)) / (dx (t0) / dt) = (yy (t0)) / (dy (t0) / dt ) = (zz (t0)) / (dz (t0) / dt).
  6. Підставивши координати вектор-функції в рівняння поверхні f (x, y, z)-C = 0 і продифференцировав по t ви отримаєте (дf / дx) (дx / дt) + (дf / Дy) (Дy / дt) + (дf / дz) (дz / дt) = 0. Рівність є скалярний твір деякого вектора n (дf / дx, дf / Дy, дf / дz) і r ‘(x’ (t), y ‘(t), z’ (t)). Так як воно дорівнює нулю, то n (дf / дx, дf / Дy, дf / дz) і є шуканий вектор нормалі. Очевидно, що результати обох способів ідентичні.
  7. Приклад (має теоретичне значення). Знайти вектор нормалі до поверхні заданої класичним рівнянням функції двох змінних z = z (x, y).
    Рішення. Перепишіть це рівняння у формі zz (x, y) = F (x, y, z) = 0. Слідуючи будь-якого з прийменникових способів, виходить, що n (-дz/дx, -дz/дy, 1) — шуканий вектор нормалі.