Як знайти велику діагональ паралелограма


 

Діагоналі чотирикутника з’єднують протилежні його вершини, ділячи фігуру на пару трикутників. Щоб знайти велику діагональ паралелограма, потрібно провести ряд обчислень згідно початковим даними завдання.



Інструкція

  1. Діагоналі паралелограма мають ряд властивостей, знання яких допомагає у вирішенні геометричних задач. У точці перетину вони діляться навпіл, будучи биссектрисами пари протилежних кутів фігури, менша діагональ — для тупих кутів, а велика — гострих. Відповідно, при розгляді пари трикутників, які виходять з двох суміжних сторін фігури і однієї з діагоналей, половина іншої діагоналі — це ще й медіана.
      
  2. Трикутники, утворені половинами діагоналей і двома паралельними сторонами паралелограма, подібні. Крім того, будь-яка діагональ ділить фігуру на два однакових трикутника, графічно симетричних щодо спільного заснування.
      
  3. Щоб знайти велику діагональ паралелограма, можна скористатися загальновідомою формулою співвідношення суми квадратів двох діагоналей і подвоєною суми квадратів довжин сторін. Вона є прямим наслідком з властивостей діагоналей:
    d1 ² + d2 ² = 2 • (a ² + b ²).
      
  4. Нехай d2 — велика діагональ, тоді формула перетвориться до виду:
    d2 = √ (2 • (a ² + b ²) — d1 ²).
      
  5. Застосуйте ці знання на практиці. Нехай заданий паралелограм зі сторонами a = 3 і b = 8. Знайдіть велику діагональ, якщо відомо, що вона на 3 см більше меншою.
      
  6. Рішення.
    Запишіть формулу в загальному вигляді, ввівши відомі з вихідних даних величини a і b:
    d1 ² + d2 ² = 2 • (9 + 64) = 146.
      
  7. Висловіть довжину меншої діагоналі d1 через довжину більшої згідно з умовою задачі:
    d1 = d2 — 3.
      
  8. Підставте цей вираз в перше рівняння:
    (D2 — 3) ² + d2 ² = 146
      
  9. Зведіть значення в дужці в квадрат:
    d2 ² — 6 • d2 + 9 + d2 ² = 146
    2 • d2 ² — 6 • d2 — 135 = 0
      
  10. Вирішити отримане квадратне рівняння щодо змінної d2 через дискримінант:
    D = 36 + 1080 = 1116.
    d2 = (6 ± √ 1116) / 4 ≈ [9,85; -6,85].
    Очевидно, що довжина діагоналі — позитивна величина, отже, вона дорівнює 9,85 см.