Як знайти відстань між двома паралельними площинами


 

Існує кілька способів завдання площині: загальне рівняння, напрямні косинуси вектора нормалі, рівняння у відрізках і пр. Використовуючи елементи конкретної записи, можна знайти відстань між площинами.


Інструкція

  1. Площина в геометрії можна визначити по-різному. Наприклад, це поверхня, будь-які дві точки якої з’єднує пряма, яка також складається з точок площини. За іншим визначенням, це безліч точок, що знаходяться на рівній відстані від будь-яких двох заданих, не належать їй.
      
  2. Площина — найпростіше поняття стереометрії, що означає плоску фігуру, необмежено спрямовану на всі боки. Ознака паралельності двох площин полягає у відсутності перетинів, тобто дві задані просторові фігури не мають спільних точок. Друга ознака: якщо одна площина паралельна пересічним прямим, що належить іншій, то ці площини паралельні.
      
  3. Щоб знайти відстань між двома паралельними площинами, потрібно визначити довжину відрізка, перпендикулярного ім. Кінцями цього відрізка є точки, що належать кожній площині. Крім того, нормальні вектора також паралельні, а значить, якщо площині задані загальним рівнянням, то необхідним і достатнім ознакою їх паралельності буде рівність відносин координат нормалей.
      
  4. Отже, нехай задані площини A1 • х + B1 • у + C1 • z + D1 = 0 і A2 • х + B2 • у + C2 • z + D2 = 0, де Ai, Bi, Ci — координати нормалей, а D1 і D2 — відстані від точки перетину координатних осей. Площини паралельні, якщо:
    A1/A2 = B1/B2 = C1/C2, а відстань між ними можна знайти за формулою:
    d = | D2 — D1 | / √ (| A1 • A2 | + B1 • B2 + C1 • C2).
      
  5. Приклад: дані дві площини х + 4 • у — 2 • z + 14 = 0 і -2 • х — 8 • у + 4 • z + 21 = 0. Визначити, паралельні вони. Якщо так, то знайти відстань між ними.
      
  6. Рішення.
    A1/A2 = B1/B2 = C1/C2 = -1 / 2 — площині паралельні. Зверніть увагу на присутність коефіцієнта -2. Якщо D1 і D2 співвідносяться один з одним за тим же коефіцієнтом, то площини збігаються. В нашому випадку це не так, оскільки 21 • (-2) ≠ 14, отже, можна знайти відстань між площинами.
  7. Розділіть для зручності друге рівняння на величину коефіцієнта -2:
    х + 4 • у — 2 • z + 14 = 0;
    х + 4 • у — 2 • z — 21/2 = 0.
    Тоді формула прийме вигляд:
    d = | D2 — D1 | / √ (A ² + B ² + C ²) = | 14 + 21/2 | / √ (1 + 16 + 4) ≈ 5,35.