Як знайти відстань між двома прямими


 

Прямі в просторі можуть перебувати в різному відношенні. Вони можуть бути паралельні або взагалі збігатися, бути пересічними або мимобіжними. Щоб знайти відстань між прямими, зверніть увагу на їх взаєморозташування.



Інструкція

  1. Пряма — одне з фундаментальних геометричних понять поряд з точкою і площиною. Це нескінченна фігура, якою можна поєднати будь-які дві точки в просторі. Пряма завжди належить небудь площині. Виходячи з розташування двох прямих, слід застосовувати різні методи пошуку відстані між ними.
      
  2. Існує три варіанти розташування двох прямих у просторі один відносно одного: вони паралельні, перетинаються або схрещуються. Другий варіант можливий, тільки якщо вони лежать в одній площині, перший не виключає приналежності двом паралельним площинам. Третя ситуація говорить про те, що прямі лежать в різних паралельних площинах.
      
  3. Щоб знайти відстань між двома паралельними прямими, потрібно визначити довжину перпендикулярного відрізка, що з’єднує їх в будь-яких двох точках. Оскільки прямі мають дві однакові координати, що випливає з визначення їх паралельності, то рівняння прямих в двомірному координатному просторі можна записати так:
    L1: а • х + b • у + с = 0;
    L2: а • х + b • у + d = 0.
    Тоді можна знайти довжину відрізка за формулою:
    s = | с — d | / √ (a ² + b ²), причому неважко помітити, що при С = D, тобто збігу прямих, відстань дорівнюватиме нулю.
      
  4. Зрозуміло, що відстань між пересічними прямими в двомірної системі координат не має сенсу. Зате коли вони розташовані в різних площинах, його можна знайти як довжину відрізка, що лежить в площині, перпендикулярній їм обом. Кінцями цього відрізка будуть точки, які є проекціями будь-яких двох точок прямих на цю площину. Іншими словами, його довжина дорівнює відстані між паралельними площинами, що містять ці прямі. Таким чином, якщо площині задані загальними рівняннями:
    α: А1 • х + В1 • у + С1 • z + Е = 0,
    β: А2 • х + В2 • у + С2 • z + F = 0,
    відстань між прямими можна обчислити за формулою:
    s = | Е — F | / √ (| А1 • А2 | + В1 • В2 + С1 • С2).

Зверніть увагу

Прямі взагалі і мимобіжні зокрема цікаві не тільки математикам. Їх властивості корисні в багатьох інших областях: в будівництві та архітектурі, в медицині і в самій природі.